Sistemas de ecuaciones: los tres métodos explicados paso a paso (con ejercicios resueltos)

TL;DR

• Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de ecuaciones que se cumplen a la vez. Resolverlo es encontrar la pareja de valores (x, y) que hace verdaderas las dos ecuaciones al mismo tiempo.
• Geométricamente, cada ecuación es una recta y la solución es el punto donde se cortan. Si las rectas se cortan hay una solución, si son paralelas no hay ninguna, y si son la misma recta hay infinitas.
• Hay tres métodos y los tres dan el mismo resultado: sustitución (despejo una incógnita y la meto en la otra ecuación), igualación (despejo la misma incógnita en las dos y las igualo) y reducción (sumo o resto las ecuaciones para que una incógnita desaparezca).
• Sustitución cuando alguna incógnita ya está despejada o tiene coeficiente 1. Igualación cuando la misma incógnita está despejada (o casi) en las dos. Reducción cuando los coeficientes son "feos" o iguales/opuestos: casi siempre es el más rápido.
• En los problemas de enunciado, lo difícil no es resolver el sistema, sino plantearlo: nombra las incógnitas por escrito, escribe una ecuación por cada dato y comprueba que la solución tiene sentido en el contexto (no hay edades negativas ni 2,7 monedas).
• Siempre se comprueba: sustituye la solución en las dos ecuaciones originales. Si las dos se cumplen, has acertado seguro; si falla una, el error está localizado.

Los sistemas de ecuaciones son uno de esos temas que separan claramente a quien ha entendido el álgebra de quien la está memorizando. Aparecen a finales de 2º de la ESO de forma sencilla, se convierten en un bloque completo en 3º de la ESO y en 4º de la ESO ya se mezclan con ecuaciones de segundo grado y con problemas de enunciado bastante retorcidos. Después reaparecen en Bachillerato, en Física, en Química y en Economía. No es un tema que puedas "saltarte".

La buena noticia es que un sistema de ecuaciones no es más que dos ecuaciones de primer grado trabajando juntas. Si ya sabes resolver ecuaciones sueltas, ya tienes el 70 % del trabajo hecho; lo único nuevo es la estrategia para pasar de dos incógnitas a una. Si las ecuaciones simples todavía se te atragantan, empieza por nuestra guía de ecuaciones de primer grado paso a paso y vuelve aquí después: te ahorrarás muchísima frustración.

En esta guía vas a encontrar los tres métodos explicados paso a paso, el mismo sistema resuelto por los tres para que veas que dan lo mismo, un criterio claro de cuándo usar cada uno, los casos raros (sin solución e infinitas soluciones), problemas de enunciado traducidos frase a frase, quince ejercicios resueltos de menos a más, los errores que más puntos cuestan en los exámenes y un plan de cinco días para dominar el tema desde cero.

Qué es un sistema de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de primer grado que comparten las mismas incógnitas y que deben cumplirse simultáneamente. En la ESO trabajarás casi siempre con sistemas de dos ecuaciones y dos incógnitas, que se escriben así:

2x + 3y = 12
 x -  y = 1

En clase verás que se agrupan con una llave grande a la izquierda. Esa llave no es decorativa: significa "y", es decir, "esta ecuación y esta otra a la vez". Es la clave de todo el tema.

Fíjate en la diferencia con una ecuación normal. En 2x + 3y = 12, tomada por sí sola, hay infinitas parejas de valores que funcionan: x = 0, y = 4 funciona; x = 3, y = 2 funciona; x = 6, y = 0 funciona; x = 1,5, y = 3 también. Una sola ecuación con dos incógnitas no basta para determinar los valores.

Pero si además exiges que se cumpla x - y = 1, la mayoría de esas parejas se caen. De las anteriores, x = 0, y = 4 no vale (0 - 4 = -4, no 1). x = 6, y = 0 tampoco (6 - 0 = 6). Solo sobrevive x = 3, y = 2, porque 3 - 2 = 1. Esa pareja es la solución del sistema.

Qué significa exactamente "resolver" un sistema

Resolver un sistema es encontrar todas las parejas (x, y) que cumplen las dos ecuaciones a la vez. La solución no es un número suelto: es una pareja de números, y se escribe así:

x = 3, y = 2      o bien      (x, y) = (3, 2)

Escribir solo "x = 3" es una respuesta incompleta y en un examen te costará puntos. Igual que escribir "3 y 2" sin decir cuál es cuál: si el problema pregunta por la edad del padre y la del hijo, decir "40 y 10" sin especificar deja al corrector adivinando.

La interpretación gráfica: dos rectas que se cortan

Esta es la idea que convierte el tema en algo visual en lugar de un montón de manipulaciones simbólicas. Cada ecuación lineal con dos incógnitas es una recta en el plano.

Toma la primera ecuación del sistema anterior, 2x + 3y = 12, y despeja y:

3y = 12 - 2x
 y = (12 - 2x) / 3
 y = 4 - (2/3)x

Es la ecuación de una recta con pendiente -2/3 que corta al eje Y en 4. Algunos de sus puntos:

Ahora la segunda, x - y = 1, despejando y:

y = x - 1

Recta con pendiente 1 que corta al eje Y en -1. Algunos puntos:

Mira las dos tablas. El punto (3, 2) aparece en las dos. Ese es el punto donde las dos rectas se cruzan, y por eso es la solución del sistema: es el único punto del plano que está en las dos rectas a la vez.

Con esta imagen en la cabeza, todo el tema se ordena:

• Las rectas se cortan en un punto → una única solución.
• Las rectas son paralelas (nunca se tocan) → ninguna solución.
• Las rectas son la misma (una encima de la otra) → infinitas soluciones.

No hay más casos posibles. Dos rectas en un plano solo pueden hacer esas tres cosas. Guarda esta idea, porque volveremos a ella cuando hablemos de sistemas compatibles e incompatibles.

El método gráfico (y por qué casi no se usa)

Existe un cuarto método, el método gráfico: dibujas las dos rectas y lees las coordenadas del punto de corte. Es útil para entender el concepto y en algunos exámenes lo piden explícitamente, pero tiene un problema serio: solo funciona bien cuando la solución tiene coordenadas enteras y "bonitas". Si la solución es x = 7/4, y = 3/8, con un dibujo a mano no la vas a leer nunca.

Por eso, en la práctica, se usan los tres métodos algebraicos. El gráfico se queda como herramienta de comprobación y de comprensión, que no es poco: entender que estás buscando un punto de corte evita que el tema se convierta en una lista de recetas sin sentido.

Los tres métodos: el mismo sistema resuelto tres veces

La mejor forma de entender que los tres métodos son caminos distintos hacia el mismo sitio es resolver el mismo sistema con los tres y ver que sale idéntico. Vamos con este:

(1)  2x + 3y = 12
(2)   x -  y = 1

Numerar las ecuaciones como (1) y (2) no es un capricho: cuando el sistema se complica, poder escribir "sustituyo en (1)" ahorra confusión y hace que el corrector siga tu razonamiento. Cógelo como costumbre desde hoy.

Método 1: sustitución, paso a paso

La idea: despejo una incógnita en una ecuación y la meto en la otra. Así la segunda ecuación se queda con una sola incógnita y ya la sé resolver.

Paso 1. Elegir qué despejar y dónde. Busca la incógnita con el coeficiente más cómodo, idealmente 1 o -1, para no arrastrar fracciones. Aquí la x de la ecuación (2) tiene coeficiente 1: es la candidata perfecta.

Paso 2. Despejar. En (2):

x - y = 1
x = 1 + y

Fíjate: la y pasa al otro miembro cambiando de signo (estaba restando, pasa sumando). Es exactamente la transposición de términos de las ecuaciones de primer grado.

Paso 3. Sustituir en la otra ecuación. Y aquí viene la regla de oro: hay que sustituir en la ecuación que NO has usado para despejar. Si sustituyes en la misma, obtendrás algo como 1 = 1 y no habrás avanzado nada. Metemos x = 1 + y en (1):

2(1 + y) + 3y = 12

Los paréntesis son obligatorios. El 2 multiplica a todo lo que valga x, no solo al 1. Olvidar ese paréntesis es el error número uno de este método.

Paso 4. Resolver la ecuación de una incógnita.

2(1 + y) + 3y = 12
2 + 2y + 3y = 12
2 + 5y = 12
5y = 12 - 2
5y = 10
 y = 10 / 5
 y = 2

Paso 5. Calcular la otra incógnita. Vuelve a la expresión despejada del paso 2 (no a la ecuación original: es más rápido y hay menos riesgo de error):

x = 1 + y = 1 + 2 = 3

Paso 6. Comprobar en las dos ecuaciones originales.

(1)  2·3 + 3·2 = 6 + 6 = 12   correcto
(2)  3 - 2 = 1                correcto

Las dos se cumplen. Solución: x = 3, y = 2.

Método 2: igualación, paso a paso

La idea: despejo la misma incógnita en las dos ecuaciones y, como las dos expresiones valen lo mismo (valen x), las igualo entre sí. Se apoya en una propiedad de sentido común: si A = x y B = x, entonces A = B.

Paso 1. Elegir qué incógnita despejar. Tiene que ser la misma en las dos ecuaciones. Aquí elegimos x, porque en (2) tiene coeficiente 1.

Paso 2. Despejar esa incógnita en la ecuación (1).

2x + 3y = 12
2x = 12 - 3y
 x = (12 - 3y) / 2

Paso 3. Despejar la misma incógnita en la ecuación (2).

x - y = 1
x = 1 + y

Paso 4. Igualar las dos expresiones. Las dos son iguales a x, así que son iguales entre sí:

(12 - 3y) / 2 = 1 + y

Paso 5. Resolver. Primero quitamos el denominador multiplicando los dos miembros por 2:

12 - 3y = 2(1 + y)
12 - 3y = 2 + 2y

Agrupamos: las y a un lado, los números al otro.

12 - 2 = 2y + 3y
10 = 5y
 y = 2

Paso 6. Calcular la otra incógnita con cualquiera de las expresiones despejadas:

x = 1 + y = 1 + 2 = 3

Paso 7. Comprobar. Ya lo hicimos: 2·3 + 3·2 = 12 y 3 - 2 = 1. Las dos correctas.

Solución: x = 3, y = 2. Idéntica a la de sustitución, como tenía que ser.

Un detalle práctico sobre la igualación: si en el paso 6 sustituyes en la expresión más complicada, x = (12 - 3·2)/2 = (12 - 6)/2 = 6/2 = 3, también sale bien. Elige siempre la más simple, pero saber que las dos funcionan te sirve como comprobación extra.

Método 3: reducción, paso a paso

La idea: combino las dos ecuaciones (sumándolas o restándolas) de manera que una incógnita se anule. Para conseguirlo, primero manipulo las ecuaciones hasta que los coeficientes de esa incógnita sean iguales o exactamente opuestos.

Se apoya en dos propiedades que puedes usar sin miedo:

1. Puedes multiplicar una ecuación entera por cualquier número distinto de cero y sigue siendo equivalente (multiplicando todos sus términos, incluido el segundo miembro).
2. Puedes sumar o restar dos ecuaciones miembro a miembro y el resultado sigue siendo válido para la solución del sistema.

Paso 1. Decidir qué incógnita eliminar. Mira los coeficientes. La y tiene coeficientes 3 y -1: multiplicando la ecuación (2) por 3 obtendremos -3y, que es el opuesto de 3y. Perfecto para sumar.

Paso 2. Preparar los coeficientes. Multiplicamos toda la ecuación (2) por 3:

3 · (x - y = 1)   →   3x - 3y = 3

Cuidado: el 3 multiplica a los tres términos, incluido el 1 del segundo miembro. Escribir 3x - 3y = 1 es el error clásico y arrastra todo el ejercicio.

El sistema queda:

(1)   2x + 3y = 12
(2')  3x - 3y = 3

Paso 3. Sumar las dos ecuaciones miembro a miembro.

  2x + 3y = 12
+ 3x - 3y = 3
-----------------
  5x + 0y = 15

La y ha desaparecido, que era el objetivo:

5x = 15
 x = 3

Paso 4. Calcular la otra incógnita. Sustituye x = 3 en la ecuación original más sencilla, la (2):

3 - y = 1
-y = 1 - 3
-y = -2
 y = 2

Ojo con ese último paso: -y = -2 no significa y = -2. Multiplicando los dos miembros por -1 queda y = 2. Es un despiste que aparece en muchísimos exámenes.

Paso 5. Comprobar. 2·3 + 3·2 = 12 y 3 - 2 = 1. Las dos correctas.

Solución: x = 3, y = 2. Los tres métodos coinciden.

Doble reducción: cuando ningún coeficiente encaja

A veces no basta con multiplicar una ecuación: hay que multiplicar las dos. Por ejemplo:

(1)  3x + 4y = 10
(2)  5x + 2y = 12

Para eliminar la y, multiplico (2) por -2 y así el 2y se convierte en -4y:

(2')  -10x - 4y = -24

Sumo (1) y (2'):

   3x + 4y = 10
+ -10x - 4y = -24
--------------------
   -7x + 0y = -14

-7x = -14
  x = 2

Sustituyo en (2): 5·2 + 2y = 12 → 10 + 2y = 12 → 2y = 2 → y = 1.

Comprobación en (1): 3·2 + 4·1 = 6 + 4 = 10, correcto. En (2): 5·2 + 2·1 = 10 + 2 = 12, correcto.

Solución: x = 2, y = 1.

Truco práctico: si los coeficientes de una incógnita son, por ejemplo, 4 y 6, no multipliques por 6 y por 4 (te saldrán números enormes). Usa el mínimo común múltiplo, que es 12: multiplica la primera por 3 y la segunda por 2. Los números se mantienen manejables y los errores de cálculo caen en picado.

Los tres métodos, comparados

Ninguno es "mejor". Son herramientas distintas, y parte de aprobar el tema consiste precisamente en elegir bien la herramienta. En un examen, el método que menos operaciones exige es el que menos errores genera.

Cuándo conviene cada método

Este es el criterio práctico que uso con mis alumnos. Antes de empezar a operar, dedica diez segundos a mirar el sistema y decidir. Esos diez segundos te ahorran cinco minutos.

Usa sustitución si:

• Una de las ecuaciones ya viene con una incógnita despejada, del tipo y = 3x - 5. Es el caso ideal: no tienes ni que despejar.
• Alguna incógnita tiene coeficiente 1 o -1 en alguna ecuación. Despejarla no genera fracciones.
• Estás resolviendo un problema de enunciado en el que una relación es directa ("el padre tiene 30 años más que el hijo" ya es p = h + 30).

Usa igualación si:

• Las dos ecuaciones vienen con la misma incógnita despejada, como y = 2x - 1 e y = -x + 5. Igualarlas es inmediato: 2x - 1 = -x + 5.
• El sistema procede de un problema de funciones y te piden el punto de corte de dos rectas dadas en forma explícita.

Usa reducción si:

• Los coeficientes de una incógnita son iguales (restas) u opuestos (sumas). Es el caso más rápido de todos.
• Todos los coeficientes son distintos de 1 y despejar generaría fracciones desagradables.
• El sistema está "ordenado", con las incógnitas alineadas y los términos independientes a la derecha.

En la práctica, en 3º y 4º de la ESO la mayoría de los sistemas de examen se resuelven más rápido por reducción. Es el método que más recomiendo entrenar, aunque debes conocer los tres porque muchos enunciados dicen expresamente "resuelve por el método de igualación" y usar otro te deja sin puntos.

Un apunte importante: si el enunciado no especifica método, eres libre de elegir. No hay ninguna obligación de usar el que se acaba de explicar en clase. Lo único que se te exige es que el procedimiento esté escrito con claridad y que la solución sea correcta.

Preparar el sistema antes de resolverlo

Muchos sistemas no vienen "listos para usar". Antes de aplicar cualquier método hay que ponerlos en forma estándar, es decir:

 ax +  by = c
a'x + b'y = c'

con las incógnitas a la izquierda, en el mismo orden, y los términos independientes a la derecha. El proceso de preparación es siempre el mismo:

1. Quitar paréntesis, aplicando la propiedad distributiva y con mucho cuidado con los signos delante de un paréntesis.

2(x - 1) + 3y = 13
2x - 2 + 3y = 13
2x + 3y = 15

2. Quitar denominadores, multiplicando cada ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores. Puedes hacerlo ecuación por ecuación: no tienen por qué compartir el mismo m.c.m.

x/2 + y/3 = 3        (multiplico todo por 6)
6·(x/2) + 6·(y/3) = 6·3
3x + 2y = 18

3. Agrupar términos semejantes y ordenar. Todas las x juntas, todas las y juntas, los números al otro lado.

5x - 3 = 2y + 7 - x
5x + x - 2y = 7 + 3
6x - 2y = 10

Y si puedes, simplifica: el 6, el 2 y el 10 de esa ecuación son todos divisibles entre 2, así que queda 3x - y = 5. Números más pequeños, menos errores, y encima la x queda con coeficiente pequeño y la y con coeficiente 1, lo que abre la puerta a la sustitución.

Solo cuando el sistema está en forma estándar tiene sentido preguntarse qué método usar. Intentar aplicar reducción a un sistema lleno de paréntesis y fracciones es garantía de desastre.

Sistemas compatibles, incompatibles e indeterminados

Aquí es donde muchos alumnos se pierden, y es una pena porque el concepto es sencillo si recuerdas la imagen de las dos rectas.

La clasificación oficial es esta:

• Compatible determinado: tiene solución y es única.
• Compatible indeterminado: tiene solución, pero infinitas.
• Incompatible: no tiene solución.

"Compatible" significa simplemente que existe solución; "determinado", que esa solución es única. Con esas dos palabras se construyen los tres nombres.

Sistema compatible determinado: una solución

Es el caso normal, el de todos los ejemplos anteriores. Las dos rectas tienen pendientes distintas, así que se cortan en un único punto. Al resolverlo por cualquier método llegas a algo del tipo 5x = 15, con una solución concreta.

2x + 3y = 12
 x -  y = 1

Solución única: x = 3, y = 2.

Sistema incompatible: ninguna solución

Las dos rectas son paralelas: misma pendiente, distinta ordenada en el origen. Nunca se cortan, así que no hay ninguna pareja (x, y) que cumpla las dos ecuaciones.

2x -  y = 3
4x - 2y = 10

Resolvamos por reducción. Multiplico la primera por -2:

-4x + 2y = -6
 4x - 2y = 10
------------------
   0x + 0y = 4

Es decir, 0 = 4. Falso. Cuando al operar te sale una igualdad numérica imposible (0 = 4, 0 = -7, 5 = 12), el sistema es incompatible y la respuesta correcta es: "El sistema no tiene solución; es incompatible".

Compruébalo con las rectas. La primera es y = 2x - 3. La segunda, 4x - 2y = 10 → -2y = 10 - 4x → y = 2x - 5. Las dos tienen pendiente 2 pero distinta ordenada: son paralelas y nunca se tocan.

Muchos alumnos, al llegar a 0 = 4, piensan que se han equivocado y empiezan de nuevo. No: si has operado bien, ese resultado es la respuesta. Lo único que hay que hacer es escribirlo con la palabra correcta.

Sistema compatible indeterminado: infinitas soluciones

Las dos ecuaciones representan la misma recta. Una es la otra multiplicada por un número, así que en realidad solo tienes una condición, no dos.

 x + 3y = 5
2x + 6y = 10

Por reducción, multiplico la primera por -2:

-2x - 6y = -10
 2x + 6y =  10
-------------------
   0x + 0y = 0

Sale 0 = 0. Cierto siempre, pero no te dice nada sobre x ni sobre y. Eso significa que hay infinitas soluciones: todos los puntos de la recta valen.

Para dar la respuesta bien, se expresan las soluciones en función de un parámetro. Despejando x en la primera ecuación:

x = 5 - 3y

Y se escribe: "Infinitas soluciones, de la forma x = 5 - 3t, y = t, con t un número real cualquiera".

Comprueba con t = 1: x = 5 - 3 = 2, y = 1. En la primera: 2 + 3 = 5, correcto. En la segunda: 4 + 6 = 10, correcto. Con t = 0: x = 5, y = 0. Primera: 5 + 0 = 5. Segunda: 10 + 0 = 10. Funciona para cualquier t.

El criterio rápido de los cocientes

Si el sistema está en forma estándar:

 ax +  by = c
a'x + b'y = c'

puedes clasificarlo sin resolverlo comparando cocientes:

• Si a/a' ≠ b/b' → compatible determinado (una solución).
• Si a/a' = b/b' ≠ c/c' → incompatible (ninguna solución).
• Si a/a' = b/b' = c/c' → compatible indeterminado (infinitas).

Apliquémoslo al ejemplo incompatible 2x - y = 3 y 4x - 2y = 10: 2/4 = 1/2, (-1)/(-2) = 1/2, y 3/10. Los dos primeros coinciden pero el tercero no: incompatible. Confirmado.

Y al indeterminado x + 3y = 5 y 2x + 6y = 10: 1/2 = 3/6 = 5/10 = 1/2. Los tres iguales: indeterminado. Confirmado.

Este criterio es oro puro para las preguntas de tipo "clasifica sin resolver" y para verificar tu resultado en dos segundos. Si tienes dudas al aplicarlo a un caso concreto, es exactamente el tipo de pregunta que puedes lanzarle a Profe 24/7: te va a devolver una pista para que compares tú mismo los cocientes antes de darte la clasificación hecha, que es como se aprende de verdad.

Cómo traducir un problema con enunciado a un sistema

Aquí está la parte que de verdad decide la nota. Resolver el sistema es mecánico; plantearlo es lo que exige pensar. Y la mayoría de los suspensos en este tema no vienen de fallar cuentas, sino de plantear mal.

Las seis fases del planteamiento

1. Lee el enunciado dos veces. La primera para enterarte, la segunda con lápiz, subrayando los datos numéricos y la pregunta final.
2. Nombra las incógnitas por escrito. Literalmente: "Sea x = número de monedas de 2 €". No basta con pensarlo. Esto vale puntos en la corrección y, sobre todo, evita que te líes a mitad del ejercicio.
3. Escribe una ecuación por cada relación del enunciado. Con dos incógnitas necesitas dos ecuaciones, y el enunciado siempre te da exactamente dos datos que las generan.
4. Resuelve el sistema con el método que mejor encaje.
5. Comprueba en las ecuaciones sustituyendo la solución.
6. Interpreta el resultado y responde con una frase completa, con sus unidades. "x = 8" no es la respuesta; "Hay 8 monedas de 2 euros y 22 monedas de 50 céntimos" sí lo es.

Un consejo que cambia el rendimiento en este tipo de ejercicios: elige como incógnitas exactamente lo que te preguntan. Si el problema pide las dos edades, llama x e y a las dos edades y no a otra cosa. Te evitarás el paso final de traducir tu respuesta y reducirás muchísimo el riesgo de confundirte.

Problema resuelto 1: edades

Un padre tiene 30 años más que su hijo. Dentro de 5 años, la edad del padre será el triple que la del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno ahora?

Incógnitas:

• x = edad actual del padre
• y = edad actual del hijo

Primera ecuación. "El padre tiene 30 años más que el hijo":

x = y + 30

Segunda ecuación. "Dentro de 5 años" significa que a cada edad hay que sumarle 5: el padre tendrá x + 5 y el hijo y + 5. "La edad del padre será el triple que la del hijo":

x + 5 = 3(y + 5)

El paréntesis es obligatorio: el triple es de toda la edad futura del hijo, no solo de la actual. Este es el error clásico de los problemas de edades y hace que el ejercicio entero se vaya al traste.

Sistema:

x = y + 30
x + 5 = 3(y + 5)

Resolución por sustitución (la primera ecuación ya está despejada, así que es el método natural):

(y + 30) + 5 = 3(y + 5)
y + 35 = 3y + 15
35 - 15 = 3y - y
20 = 2y
 y = 10

Y entonces x = 10 + 30 = 40.

Comprobación en el enunciado, no solo en las ecuaciones: el padre tiene 40 y el hijo 10; la diferencia es 30, correcto. Dentro de 5 años tendrán 45 y 15, y 45 = 3 · 15, correcto.

Respuesta: el padre tiene 40 años y el hijo, 10.

Problema resuelto 2: mezclas

Un comerciante quiere obtener 20 kg de mezcla de café que se venda a 9 €/kg, mezclando café de 12 €/kg con café de 8 €/kg. ¿Cuántos kilos de cada tipo necesita?

Incógnitas:

• x = kilos de café de 12 €/kg
• y = kilos de café de 8 €/kg

Primera ecuación (cantidades): los kilos totales son 20.

x + y = 20

Segunda ecuación (dinero): el valor del café caro más el valor del café barato debe igualar el valor de la mezcla. El café caro vale 12x euros, el barato 8y euros y la mezcla 20 · 9 = 180 euros.

12x + 8y = 180

En todos los problemas de mezclas el patrón es el mismo: una ecuación de cantidades y otra de valor. Si sabes eso, tienes medio problema hecho antes de leerlo.

Resolución por sustitución: de la primera, y = 20 - x.

12x + 8(20 - x) = 180
12x + 160 - 8x = 180
4x = 180 - 160
4x = 20
 x = 5

Y y = 20 - 5 = 15.

Comprobación: 5 + 15 = 20 kg, correcto. Valor: 12·5 + 8·15 = 60 + 120 = 180 €. Precio de la mezcla: 180 / 20 = 9 €/kg, correcto.

Respuesta: necesita 5 kg del café de 12 €/kg y 15 kg del de 8 €/kg.

Fíjate en que el precio de la mezcla (9 €) está más cerca de 8 que de 12, y coherentemente hay más kilos del barato. Ese tipo de comprobación de sentido común detecta errores al instante. Si te sale más café caro que barato con la mezcla a 9 €, algo has hecho mal seguro.

Problema resuelto 3: monedas

En una hucha hay 30 monedas, unas de 2 € y otras de 50 céntimos, que suman en total 27 €. ¿Cuántas monedas hay de cada clase?

Incógnitas:

• x = número de monedas de 2 €
• y = número de monedas de 50 céntimos

Primera ecuación (número de monedas):

x + y = 30

Segunda ecuación (dinero). Aquí hay una trampa: hay que trabajar con las mismas unidades. Pasamos 50 céntimos a euros, es decir, 0,5 €.

2x + 0,5y = 27

Resolución por reducción. Los decimales molestan, así que multiplico la segunda ecuación por 2 para quitarlos:

4x + y = 54

Ahora resto la primera de esta:

   4x + y = 54
- ( x + y = 30)
------------------
   3x + 0 = 24

3x = 24
 x = 8

Y de la primera, y = 30 - 8 = 22.

Comprobación: 8 + 22 = 30 monedas, correcto. Dinero: 8 · 2 + 22 · 0,5 = 16 + 11 = 27 €, correcto.

Respuesta: hay 8 monedas de 2 € y 22 de 50 céntimos.

Nota sobre la resta de ecuaciones: al restar hay que cambiar todos los signos de la ecuación que resta, incluido el término independiente. Si escribes 3x = 54 - 30 vas bien; si por prisa escribes 3x = 54 + 30, adiós ejercicio. Muchos alumnos prefieren, en vez de restar, multiplicar por -1 y sumar. Es exactamente lo mismo y se cometen menos errores.

Problema resuelto 4: perímetros

Un rectángulo tiene 34 cm de perímetro. La base mide 5 cm más que la altura. Calcula sus dimensiones.

Incógnitas:

• b = base, en cm
• a = altura, en cm

Primera ecuación (perímetro). El perímetro de un rectángulo es 2b + 2a:

2b + 2a = 34

Y como todos los términos son pares, simplificamos dividiendo entre 2:

b + a = 17

Segunda ecuación:

b = a + 5

Resolución por sustitución:

(a + 5) + a = 17
2a + 5 = 17
2a = 12
 a = 6

Y b = 6 + 5 = 11.

Comprobación: perímetro = 2·11 + 2·6 = 22 + 12 = 34 cm, correcto. La base (11) supera a la altura (6) en 5 cm, correcto.

Respuesta: la base mide 11 cm y la altura, 6 cm.

En geometría, comprueba siempre que las medidas sean positivas. Si te sale una altura de -3 cm, no es que el rectángulo sea raro: es que has planteado mal.

Problema resuelto 5: entradas de cine

En una sesión de cine se vendieron 200 entradas y se recaudaron 1.360 €. Las entradas de adulto costaban 8 € y las infantiles 5 €. ¿Cuántas se vendieron de cada tipo?

Incógnitas: x = entradas de adulto, y = entradas infantiles.

 x +  y = 200
8x + 5y = 1360

Sustitución: y = 200 - x.

8x + 5(200 - x) = 1360
8x + 1000 - 5x = 1360
3x = 360
 x = 120

y = 200 - 120 = 80.

Comprobación: 120 + 80 = 200 entradas, correcto. Recaudación: 120 · 8 + 80 · 5 = 960 + 400 = 1360 €, correcto.

Respuesta: 120 entradas de adulto y 80 infantiles.

Este esquema (dos tipos de cosas, un total de unidades y un total de dinero) se repite en decenas de enunciados: entradas, sellos, bolígrafos, bocadillos, animales de una granja. Cámbiale el disfraz y es siempre el mismo problema. Reconocer ese patrón es la habilidad que de verdad te sube la nota, y es también el tipo de conexión que trabajamos en la guía de cómo aprobar Matemáticas.

Problema resuelto 6: las cifras de un número

La suma de las cifras de un número de dos cifras es 9. Si se invierten sus cifras, el número obtenido es 27 unidades menor que el original. ¿Cuál es el número?

Este es el problema que más miedo da, y es solo cuestión de saber una cosa: un número de dos cifras vale 10d + u, donde d es la cifra de las decenas y u la de las unidades. El 63, por ejemplo, es 10·6 + 3.

Incógnitas: d = cifra de las decenas, u = cifra de las unidades.

Primera ecuación:

d + u = 9

Segunda ecuación. El número original es 10d + u. Al invertir las cifras obtenemos 10u + d. Y ese número invertido es 27 unidades menor:

10u + d = 10d + u - 27

Ordenamos:

10u - u + d - 10d = -27
9u - 9d = -27

Dividimos todo entre 9:

u - d = -3     →     d - u = 3

Sistema:

d + u = 9
d - u = 3

Reducción, sumando directamente:

2d = 12  →  d = 6

Y u = 9 - 6 = 3.

Comprobación: el número es 63. Sus cifras suman 6 + 3 = 9, correcto. Invertido es 36, y 63 - 36 = 27, correcto.

Respuesta: el número es 63.

Un apunte sobre proporciones y porcentajes

Bastantes problemas de sistemas incluyen frases del tipo "el 20 % de los alumnos" o "por cada 3 chicos hay 2 chicas". No son un tipo aparte: solo hay que traducir la proporción a números antes de escribir la ecuación. "El 20 % de x" es 0,2x, y "por cada 3 chicos hay 2 chicas" se convierte en x/y = 3/2, es decir, 2x = 3y. Si estas traducciones se te resisten, repasa la regla de tres: es la misma idea, aplicada un peldaño más abajo.

15 ejercicios resueltos, de menos a más

Tápate las soluciones, hazlos en papel y compara después. Un ejercicio leído no es un ejercicio hecho: el álgebra solo se aprende con el bolígrafo en la mano.

Ejercicio 1 (reducción directa)

x + y = 7
x - y = 3

Los coeficientes de y son opuestos: sumamos directamente.

2x = 10  →  x = 5

Sustituyendo en la primera: 5 + y = 7 → y = 2.

Comprobación: 5 + 2 = 7; 5 - 2 = 3. Solución: x = 5, y = 2.

Ejercicio 2 (sustitución inmediata)

y = 2x - 1
3x + y = 9

La y ya está despejada:

3x + (2x - 1) = 9
5x - 1 = 9
5x = 10  →  x = 2

y = 2·2 - 1 = 3.

Comprobación: 3·2 + 3 = 9; 2·2 - 1 = 3. Solución: x = 2, y = 3.

Ejercicio 3 (sustitución con paréntesis)

2x + y = 11
x = y + 1

2(y + 1) + y = 11
2y + 2 + y = 11
3y = 9  →  y = 3

x = 3 + 1 = 4.

Comprobación: 2·4 + 3 = 8 + 3 = 11; 4 = 3 + 1. Solución: x = 4, y = 3.

Ejercicio 4 (igualación)

x + 2y = 8
x -  y = 2

Despejo x en las dos: x = 8 - 2y y x = 2 + y. Igualo:

8 - 2y = 2 + y
8 - 2 = y + 2y
6 = 3y  →  y = 2

x = 2 + 2 = 4.

Comprobación: 4 + 2·2 = 4 + 4 = 8; 4 - 2 = 2. Solución: x = 4, y = 2.

Ejercicio 5 (reducción con coeficientes opuestos)

3x + 2y = 16
5x - 2y = 16

Sumamos:

8x = 32  →  x = 4

En la primera: 12 + 2y = 16 → 2y = 4 → y = 2.

Comprobación: 3·4 + 2·2 = 12 + 4 = 16; 5·4 - 2·2 = 20 - 4 = 16. Solución: x = 4, y = 2.

Ejercicio 6 (reducción con una multiplicación)

4x + 3y = 22
2x -  y = 6

Multiplico la segunda por 3 para que la y quede como -3y:

6x - 3y = 18

Sumo con la primera:

10x = 40  →  x = 4

En la segunda original: 2·4 - y = 6 → 8 - y = 6 → -y = -2 → y = 2.

Comprobación: 4·4 + 3·2 = 16 + 6 = 22; 2·4 - 2 = 8 - 2 = 6. Solución: x = 4, y = 2.

Ejercicio 7 (doble multiplicación)

3x + 4y = 10
5x + 2y = 12

Multiplico la segunda por -2:

-10x - 4y = -24

Sumo con la primera:

-7x = -14  →  x = 2

En la segunda: 10 + 2y = 12 → y = 1.

Comprobación: 3·2 + 4·1 = 6 + 4 = 10; 5·2 + 2·1 = 10 + 2 = 12. Solución: x = 2, y = 1.

Ejercicio 8 (con paréntesis)

2(x - 1) + 3y = 13
x + 2(y + 1) = 10

Primero preparo el sistema:

2x - 2 + 3y = 13   →   2x + 3y = 15
x + 2y + 2 = 10    →   x + 2y = 8

Sustitución con la segunda: x = 8 - 2y.

2(8 - 2y) + 3y = 15
16 - 4y + 3y = 15
-y = -1  →  y = 1

x = 8 - 2 = 6.

Comprobación en las originales: 2(6 - 1) + 3·1 = 10 + 3 = 13; 6 + 2(1 + 1) = 6 + 4 = 10. Solución: x = 6, y = 1.

Ejercicio 9 (con denominadores)

x/2 + y/3 = 3
x - y = 1

Multiplico la primera por 6 (m.c.m. de 2 y 3):

3x + 2y = 18

Sustitución con la segunda: x = y + 1.

3(y + 1) + 2y = 18
3y + 3 + 2y = 18
5y = 15  →  y = 3

x = 3 + 1 = 4.

Comprobación en la original: 4/2 + 3/3 = 2 + 1 = 3; 4 - 3 = 1. Solución: x = 4, y = 3.

Ejercicio 10 (sistema incompatible)

2x -  y = 3
4x - 2y = 10

Multiplico la primera por -2 y sumo:

-4x + 2y = -6
 4x - 2y = 10
------------------
        0 = 4

Igualdad falsa. El sistema es incompatible: no tiene solución. Gráficamente, y = 2x - 3 e y = 2x - 5 son rectas paralelas.

Ejercicio 11 (sistema compatible indeterminado)

 x + 3y = 5
2x + 6y = 10

Multiplico la primera por -2 y sumo:

-2x - 6y = -10
 2x + 6y =  10
-------------------
        0 = 0

Igualdad siempre cierta. Infinitas soluciones, de la forma x = 5 - 3t, y = t.

Verificación con t = 2: x = 5 - 6 = -1, y = 2. Primera: -1 + 3·2 = -1 + 6 = 5, correcto. Segunda: -2 + 6·2 = -2 + 12 = 10, correcto.

Ejercicio 12 (fracciones con paréntesis)

(x + y)/2 - (x - y)/3 = 2
x + y = 8

Multiplico la primera por 6:

3(x + y) - 2(x - y) = 12
3x + 3y - 2x + 2y = 12
x + 5y = 12

Atención al signo: el -2 multiplica también al -y, y menos por menos da más.

Ahora, reducción restando la segunda ecuación original:

   x + 5y = 12
- (x +  y =  8)
-------------------
       4y = 4  →  y = 1

x = 8 - 1 = 7.

Comprobación en la original: (7 + 1)/2 - (7 - 1)/3 = 8/2 - 6/3 = 4 - 2 = 2; y 7 + 1 = 8. Solución: x = 7, y = 1.

Ejercicio 13 (solución negativa)

3x + 2y = -1
x - y = 3

Sustitución: x = y + 3.

3(y + 3) + 2y = -1
3y + 9 + 2y = -1
5y = -10  →  y = -2

x = -2 + 3 = 1.

Comprobación: 3·1 + 2·(-2) = 3 - 4 = -1; 1 - (-2) = 1 + 2 = 3. Solución: x = 1, y = -2.

Que salga un valor negativo no es un error. En un sistema abstracto es perfectamente válido; solo hay que desconfiar cuando la incógnita representa una magnitud que no puede ser negativa, como edades, kilos o número de personas.

Ejercicio 14 (solución fraccionaria)

2x + 4y = 5
 x - 2y = 1

Multiplico la segunda por 2:

2x - 4y = 2

Resto esa de la primera:

   2x + 4y = 5
- (2x - 4y = 2)
-------------------
        8y = 3  →  y = 3/8

En la segunda original: x = 1 + 2y = 1 + 2·(3/8) = 1 + 6/8 = 1 + 3/4 = 7/4.

Comprobación: 2·(7/4) + 4·(3/8) = 7/2 + 3/2 = 10/2 = 5; y 7/4 - 2·(3/8) = 7/4 - 3/4 = 4/4 = 1. Solución: x = 7/4, y = 3/8.

Las soluciones fraccionarias asustan, pero son igual de correctas. Deja el resultado en fracción, no en decimal, salvo que el enunciado pida lo contrario: es más exacto y más elegante.

Ejercicio 15 (problema de enunciado)

La suma de dos números es 45 y su diferencia es 11. ¿Cuáles son?

Incógnitas: x = número mayor, y = número menor.

x + y = 45
x - y = 11

Reducción, sumando:

2x = 56  →  x = 28

y = 45 - 28 = 17.

Comprobación: 28 + 17 = 45; 28 - 17 = 11. Respuesta: los números son 28 y 17.

Si has hecho los quince y has comprobado todos, ya sabes resolver sistemas. Lo que falta es velocidad, y eso solo se consigue repitiendo. Cuando te atasques en un ejercicio nuevo, en lugar de mirar la solución directamente, prueba a preguntarle a Profe 24/7: está diseñado para darte la siguiente pista, no el resultado, de modo que sigas siendo tú quien resuelve. Es la diferencia entre entender y copiar.

Errores típicos y cómo detectarlos

Después de corregir muchísimos exámenes de este tema, los fallos se repiten con una regularidad asombrosa. Estos son los siete grandes.

1. Multiplicar solo una parte de la ecuación

El error más caro de todos. Al preparar la reducción multiplicas x - y = 1 por 3 y escribes 3x - 3y = 1, olvidando el segundo miembro. La ecuación resultante ya no es equivalente y todo lo que viene después está mal, aunque las cuentas siguientes sean impecables.

Cómo evitarlo: escribe el multiplicador delante de un paréntesis que englobe toda la ecuación: 3·(x - y) = 3·(1). Visualmente es imposible olvidarse.

Cómo detectarlo: si al comprobar la solución falla justo la ecuación que multiplicaste, ese es el sospechoso número uno.

2. Errores de signo al restar ecuaciones

Restas dos ecuaciones y cambias el signo del primer término pero no del segundo ni del independiente. De 4x + y = 54 menos x + y = 30 sale 3x = 24, no 3x = 84 ni 3x + 2y = 24.

Cómo evitarlo: no restes nunca. Multiplica una ecuación por -1 y suma. Es la misma operación, pero sumar es psicológicamente menos propenso al despiste porque los signos ya están escritos en el papel.

3. Olvidar el paréntesis al sustituir

Sustituyes x = 1 + y en 2x + 3y = 12 y escribes 2·1 + y + 3y = 12. El 2 tiene que multiplicar a toda la expresión.

Cómo evitarlo: escribe siempre el paréntesis primero, aunque parezca innecesario: 2(1 + y) + 3y = 12. El paréntesis se quita después, con calma y en un paso aparte.

4. Despejar mal (transposición incorrecta)

De 2x = 12 - 3y escribir x = 12 - 3y/2, dividiendo solo un término. O de -y = -2 concluir que y = -2.

Cómo evitarlo: cuando dividas, escribe la fracción con la línea larga abarcando todo el numerador: x = (12 - 3y)/2. Y cuando te quede -y = algo, multiplica los dos miembros por -1 y escríbelo explícitamente. Si esta parte se te resiste, vuelve a repasar la transposición de términos en la guía de ecuaciones de primer grado: el problema no está en los sistemas, está un nivel más abajo, y taparlo no sirve de nada.

5. Sustituir en la ecuación equivocada

En el método de sustitución, meter la expresión despejada en la misma ecuación de la que la sacaste. Llegas a algo como 1 = 1 y te quedas bloqueado sin entender por qué.

Cómo evitarlo: numera las ecuaciones (1) y (2), y escribe al lado de cada paso de dónde a dónde vas: "despejo en (2), sustituyo en (1)". Si ves que has escrito (2) y (2), ahí está el fallo.

6. Dar solo una incógnita

Calculas x, respiras aliviado y entregas. Falta la mitad de la solución, y con ella la mitad de la nota del ejercicio.

Cómo evitarlo: acostúmbrate a cerrar todos los ejercicios escribiendo la línea "Solución: x = ..., y = ...". Si no la puedes escribir completa, es que no has terminado.

7. No interpretar el resultado en los problemas

Resuelves el sistema perfectamente y respondes "x = 8, y = 22" a una pregunta sobre monedas. El corrector quiere leer "hay 8 monedas de 2 € y 22 de 50 céntimos".

Cómo evitarlo: vuelve a leer la pregunta del enunciado antes de escribir la respuesta final, y respóndela con una frase completa y con sus unidades.

Estos errores no son de "no saber matemáticas": son de método y de prisa. Se corrigen con hábitos, y los hábitos se instalan en un par de semanas de práctica consciente. Si el tema ya te ha dejado un suspenso pendiente, en la guía de cómo recuperar una asignatura suspensa tienes el enfoque completo para reconstruir la base sin agobios.

Cómo comprobar la solución (siempre)

Esta sección es corta pero es la más rentable de todo el artículo. Comprobar te garantiza el punto.

El procedimiento es este:

1. Toma la solución que has obtenido, por ejemplo x = 3, y = 2.
2. Sustitúyela en la primera ecuación original (no en una que hayas manipulado). Calcula el primer miembro y comprueba que da el segundo.
3. Haz lo mismo con la segunda ecuación original.
4. Si las dos se cumplen, la solución es correcta. Punto. No hay margen de duda.

Con nuestro sistema de referencia:

(1)  2x + 3y = 12   →   2·3 + 3·2 = 6 + 6 = 12   correcto
(2)   x -  y = 1    →   3 - 2 = 1                correcto

Tres observaciones importantes:

Hay que comprobar en las DOS. Si solo compruebas en una, puede que hayas encontrado un punto de esa recta que no está en la otra. La comprobación doble es lo que valida el sistema completo.

Hay que usar las ecuaciones ORIGINALES, tal como venían en el enunciado. Si compruebas en una versión ya manipulada por ti, un error de manipulación pasará desapercibido porque estarás validando tu propio fallo.

En los problemas, comprueba también contra el enunciado. No basta con que las ecuaciones cuadren: si te sale que el hijo tiene 40 años y el padre 10, las ecuaciones pueden estar bien resueltas pero el planteamiento estaba invertido.

La comprobación cuesta treinta segundos y detecta prácticamente cualquier error de cálculo. En un examen de una hora, es la mejor inversión de tiempo que puedes hacer.

Plan de estudio de 5 días

Este plan supone que ya sabes resolver ecuaciones de primer grado. Si no, dedica un día previo a repasarlas: sin esa base, los sistemas no se sostienen.

Día 1 – Concepto y sustitución (45 minutos). Entiende qué es un sistema y qué significa su solución. Dibuja en papel cuadriculado las dos rectas del sistema 2x + 3y = 12, x - y = 1 y localiza el punto de corte: esa imagen mental te va a servir todo el tema. Después, aprende el método de sustitución con sus seis pasos y haz cinco sistemas sencillos con alguna incógnita ya despejada. Comprueba todos, sin excepción.

Día 2 – Igualación y reducción (50 minutos). Resuelve el mismo sistema del día anterior por los dos métodos nuevos y verifica que sale idéntico: es el ejercicio que hace que el tema "haga clic". Luego, seis sistemas nuevos, dos por cada método. Céntrate en la técnica de preparar coeficientes en la reducción usando el mínimo común múltiplo.

Día 3 – Casos especiales y sistemas preparados (45 minutos). Trabaja sistemas con paréntesis y denominadores: cuatro ejercicios enteros, dedicando la mitad del tiempo solo a preparar el sistema antes de resolverlo. Después, los casos incompatible e indeterminado: dos ejemplos de cada uno, y practica el criterio de los cocientes clasificando seis sistemas sin resolverlos.

Día 4 – Problemas de enunciado (60 minutos). El día más importante. Haz seis problemas: uno de edades, uno de mezclas, uno de monedas, uno geométrico, uno de dos tipos de entradas y uno de cifras de un número. Aplica siempre las seis fases y escribe las incógnitas por escrito. Si te bloqueas en el planteamiento, no mires la solución: relee el enunciado subrayando qué dato genera cada ecuación.

Día 5 – Simulacro de examen (60 minutos). Coge ocho ejercicios variados (cuatro sistemas y cuatro problemas), pon un cronómetro y hazlos sin apuntes, como en un examen real. Después corrige con rigor, apunta en una hoja aparte cada error que hayas cometido y clasifícalo: ¿de signo?, ¿de planteamiento?, ¿de despeje? Esa lista es tu guía de repaso para la víspera del examen, y vale más que releer el tema entero.

Si en cualquier momento de la semana te quedas atascado, tener a mano un tutor que responda a las dos de la tarde de un domingo cambia mucho las cosas. Puedes empezar a usar Profe 24/7 desde el proceso de alta y plantearle directamente el ejercicio que se te ha resistido: te preguntará qué has intentado y te irá dando pistas hasta que salga.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es el método más fácil para resolver sistemas de ecuaciones?

No hay uno universalmente más fácil: depende del sistema. La sustitución es la más intuitiva y la que mejor se entiende al principio. La reducción suele ser la más rápida cuando los coeficientes son grandes o encajan bien. Aprende los tres y elige en cada ejercicio el que menos operaciones exija.

¿Puedo usar el método que quiera en un examen?

Sí, salvo que el enunciado diga expresamente "resuelve por el método de igualación" o similar. En ese caso estás obligado a usar el indicado, porque lo que se evalúa es que conoces esa técnica concreta. Si no lo especifica, elige el que prefieras y escribe el procedimiento con claridad.

¿Qué significa que un sistema no tenga solución?

Significa que no existe ninguna pareja de valores (x, y) que cumpla las dos ecuaciones a la vez. Gráficamente, las dos rectas son paralelas y nunca se cortan. Lo detectas porque al operar llegas a una igualdad numérica falsa, del tipo 0 = 4. Se llama sistema incompatible.

¿Qué hago si al resolver me sale 0 = 0?

Que salga 0 = 0 indica que las dos ecuaciones representan la misma recta y el sistema tiene infinitas soluciones. Se llama compatible indeterminado. La respuesta correcta no es "cualquier número": debes despejar una incógnita en función de la otra y expresar las soluciones con un parámetro.

¿Las soluciones pueden ser negativas o fraccionarias?

Sí, con total normalidad. En un sistema abstracto cualquier número real es una solución válida. Solo debes desconfiar en los problemas con enunciado, donde una edad, un número de monedas o una longitud negativos indican que has planteado mal el sistema y conviene revisar las ecuaciones.

¿Por qué me sale bien el sistema pero mal el problema?

Casi siempre porque el planteamiento estaba mal, no el cálculo. Si has traducido mal una frase del enunciado, resolverás perfectamente un sistema equivocado. Por eso hay que comprobar la solución en el enunciado original, no solo en las ecuaciones que tú mismo has escrito.

¿Cómo se resuelven los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas?

Con la misma idea, aplicada dos veces: se elimina una incógnita combinando ecuaciones de dos en dos hasta quedarse con un sistema de dos por dos, que ya sabes resolver. Es contenido de Bachillerato, donde además se estudia el método de Gauss, que sistematiza todo ese proceso.

¿Y si el sistema tiene una ecuación de segundo grado?

Se llama sistema no lineal y aparece en 4º de la ESO. La estrategia habitual es despejar una incógnita en la ecuación lineal y sustituirla en la cuadrática, con lo que queda una ecuación de segundo grado normal. Repasa cómo resolverlas en nuestra guía de ecuaciones de segundo grado.

En resumen

Un sistema de ecuaciones es simplemente dos condiciones que se tienen que cumplir a la vez, y su solución es el punto donde se cruzan las dos rectas que esas condiciones representan. Todo el tema se reduce a una única estrategia: eliminar una incógnita para quedarte con una ecuación normal, que ya sabes resolver. Sustitución, igualación y reducción son tres maneras distintas de conseguir exactamente eso.

Lo que marca la diferencia entre un 5 y un 9 no es conocer los métodos, sino tres hábitos concretos: elegir bien el método antes de empezar a operar, preparar el sistema (paréntesis, denominadores, orden) antes de aplicarlo, y comprobar siempre la solución en las dos ecuaciones originales. Añade a eso la costumbre de escribir las incógnitas por escrito en los problemas y habrás eliminado la mayor parte de los errores posibles.

Y si te atascas, que te atascarás alguna vez, lo importante es no quedarte parado ni copiar la solución sin entenderla. Un tutor como Profe 24/7 está para eso: para darte la pista que te desbloquea y dejar que seas tú quien termina el ejercicio. Porque en matemáticas, el que resuelve es el que aprende.