Ecuaciones de primer grado: cómo resolverlas paso a paso (con ejercicios)

TL;DR

Una ecuación de primer grado es una igualdad con una incógnita (normalmente x) elevada a exponente 1, como 2x + 3 = 11. Resolverla significa encontrar el valor de x que hace cierta la igualdad. La clave está en despejar la x manteniendo el equilibrio: la ecuación funciona como una balanza, y todo lo que hagas en un miembro debes hacerlo también en el otro. En la práctica, eso se traduce en la transposición de términos: lo que suma pasa restando, lo que multiplica pasa dividiendo. El orden de trabajo siempre es el mismo: quitar paréntesis → quitar denominadores → transponer términos → agrupar → despejar. Con ese método, y comprobando la solución al final, cualquier ecuación de primer grado sale.

Las ecuaciones de primer grado son la puerta de entrada al álgebra. Aparecen por primera vez en Matemáticas de 1º de la ESO con casos sencillos, y en 2º de la ESO se convierten en uno de los temas centrales del curso, ya con paréntesis, denominadores y problemas de enunciado. Si las dominas, tienes medio curso ganado: sistemas de ecuaciones, funciones, proporcionalidad y hasta la física de cursos posteriores se apoyan en ellas.

La buena noticia es que resolver ecuaciones de primer grado no requiere talento especial, sino método. Siempre se siguen los mismos pasos, en el mismo orden, y cada paso se apoya en una única idea: una ecuación es una igualdad en equilibrio, y ese equilibrio no se puede romper. Quien entiende esa idea deja de memorizar "trucos" sueltos y empieza a entender por qué lo que suma pasa restando.

En esta guía vas a ver, paso a paso y con todos los cálculos detallados: qué es exactamente una ecuación, cómo funciona la transposición de términos, cómo se resuelven ecuaciones con x en los dos miembros, con paréntesis y con denominadores, qué pasa cuando una ecuación no tiene solución, cómo atacar los problemas de enunciado y cuáles son los errores que más suspensos provocan. Al final tienes ejercicios de práctica con sus soluciones para ponerte a prueba.

Qué es una ecuación de primer grado

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que solo se cumple para ciertos valores de la incógnita. Por ejemplo:

$$2x + 3 = 11$$

Aquí hay varios elementos con nombre propio que conviene conocer, porque los profesores los usan constantemente:

• Incógnita: la letra cuyo valor desconocemos, normalmente x.
• Miembros: las dos partes separadas por el signo igual. El primer miembro es lo que está a la izquierda (2x + 3) y el segundo miembro lo que está a la derecha (11).
• Términos: cada sumando de cada miembro. En el ejemplo, los términos son 2x, 3 y 11.
• Coeficiente: el número que multiplica a la incógnita. En 2x, el coeficiente es 2.
• Término independiente: el término sin incógnita (aquí, el 3 y el 11).

Que sea de primer grado significa que la incógnita está elevada a exponente 1 (que no se escribe): aparece como x, nunca como x² ni x³. Por eso también se llaman ecuaciones lineales. Si aparece x², ya estás ante una ecuación de segundo grado, que se resuelve con otras técnicas; puedes verlas en nuestra guía de ecuaciones de segundo grado paso a paso.

Diferencia entre ecuación e identidad

No toda igualdad con letras es una ecuación. Una identidad se cumple para cualquier valor de la letra: por ejemplo, 2(x + 1) = 2x + 2 es cierta valga lo que valga x, porque el segundo miembro es simplemente el primero con el paréntesis desarrollado. Una ecuación, en cambio, solo se cumple para valores concretos: 2x + 3 = 11 únicamente es verdad cuando x = 4. Esta distinción parece teórica, pero explica los casos especiales de "infinitas soluciones" que veremos más adelante.

Qué significa resolver una ecuación

Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita que hace que la igualdad sea cierta. Ese valor se llama solución de la ecuación.

Compruébalo con 2x + 3 = 11:

• Si x = 2: el primer miembro vale 2 · 2 + 3 = 7, que no es 11. No es solución.
• Si x = 4: el primer miembro vale 2 · 4 + 3 = 8 + 3 = 11. La igualdad se cumple: x = 4 es la solución.

Una ecuación de primer grado con una incógnita tiene, en general, una única solución. (Salvo los casos especiales sin solución o con infinitas soluciones, que tienen su propia sección más abajo.)

Fíjate en un matiz importante: resolver no es "adivinar". Con ecuaciones sencillas puedes acertar la solución a ojo, pero con 3(x − 2) − 5 = 2x + 7 ya no. Por eso necesitas un método que funcione siempre, sea cual sea la ecuación. Ese método se apoya en la idea de la balanza.

La metáfora de la balanza: la idea que lo explica todo

Imagina una balanza de dos platos perfectamente equilibrada. En el plato izquierdo hay una bolsa con un peso desconocido (la x) junto con 3 pesas de 1 kg. En el plato derecho hay 11 pesas de 1 kg. La balanza está equilibrada, así que:

$$x + 3 = 11$$

¿Cómo averiguas cuánto pesa la bolsa? Quitando pesas, pero con una condición innegociable: todo lo que quites de un plato debes quitarlo también del otro, o la balanza se desequilibra y la igualdad deja de ser cierta.

Quitamos 3 pesas de cada plato:

$$x + 3 - 3 = 11 - 3 \implies x = 8$$

La bolsa pesa 8 kg. Eso es exactamente resolver una ecuación: transformar la igualdad, sin romper el equilibrio, hasta que la x quede sola en un miembro.

La regla general se enuncia así: si sumas, restas, multiplicas o divides los dos miembros de una ecuación por el mismo número (distinto de cero en el caso de multiplicar o dividir), la ecuación resultante tiene la misma solución que la original. Las ecuaciones que comparten solución se llaman ecuaciones equivalentes, y resolver consiste en encadenar ecuaciones equivalentes cada vez más simples: de 2x + 3 = 11 pasas a 2x = 8, y de ahí a x = 4.

Todo lo que viene a continuación —la transposición, quitar paréntesis, quitar denominadores— son atajos de esta única idea. Si en algún momento dudas de si un paso es legal, vuelve a la balanza: ¿estoy haciendo lo mismo en los dos platos? Si la respuesta es sí, el paso es correcto.

La transposición de términos: lo que suma pasa restando

Hacer "lo mismo en los dos miembros" cada vez es correcto pero lento. La transposición de términos es la versión abreviada, y es lo que usarás el 99 % de las veces. Consiste en pasar un término de un miembro al otro realizando la operación inversa.

¿Por qué funciona? Míralo con la versión larga. En x + 5 = 12, restamos 5 en los dos miembros:

$$x + 5 - 5 = 12 - 5 \implies x = 12 - 5 = 7$$

El +5 de la izquierda "desaparece" y a la derecha aparece un −5. Visto desde fuera, parece que el 5 ha cruzado el igual cambiando de signo. De ahí la regla que se enseña en clase: lo que está sumando pasa restando. Pero ahora sabes que no es magia: es restar 5 en los dos platos de la balanza, escrito rápido.

Cada operación se deshace con su operación inversa:

Dos advertencias que evitan la mitad de los errores de examen:

1. El signo solo cambia en sumas y restas. Cuando un número pasa multiplicando o dividiendo, no cambia de signo: en 3x = 21, el 3 pasa dividiendo como 3, no como −3.
2. Solo se transpone lo que afecta a todo el miembro o el término completo. En 2x + 3 = 11 puedes pasar el +3 (es un término entero), pero no puedes pasar "el 2" sin antes haber dejado solo el término 2x.

El orden correcto para despejar

Cuando la x tiene varias operaciones encima, se deshacen en orden inverso a la jerarquía: primero las sumas y restas, después las multiplicaciones y divisiones. En 2x + 3 = 11:

1. Primero pasa el +3 restando: 2x = 11 − 3 = 8.
2. Después pasa el 2 dividiendo: x = 8/2 = 4.

Si intentas dividir primero entre 2 sin tocar el +3, tendrías que dividir todo el miembro (x + 3/2 = 11/2), lo cual es correcto pero mucho más incómodo. Por eso el orden "primero sumas/restas, luego productos/divisiones" es el estándar.

Ecuaciones sencillas resueltas paso a paso

Vamos a aplicar la transposición a ecuaciones de dificultad creciente. Lee cada una intentando anticipar el paso siguiente antes de mirarlo.

Ejemplo 1: x + 9 = 15

El 9 está sumando, así que pasa restando:

$$x = 15 - 9 = 6$$

Solución: x = 6. Comprobación: 6 + 9 = 15. ✔

Ejemplo 2: x − 4 = 10

El 4 está restando; pasa sumando:

$$x = 10 + 4 = 14$$

Solución: x = 14. Comprobación: 14 − 4 = 10. ✔

Ejemplo 3: 3x = 21

El 3 está multiplicando; pasa dividiendo (sin cambiar de signo):

$$x = \frac{21}{3} = 7$$

Solución: x = 7. Comprobación: 3 · 7 = 21. ✔

Ejemplo 4: x + 8 = 3

Igual que el ejemplo 1, pero fíjate en el resultado:

$$x = 3 - 8 = -5$$

Solución: x = −5. Una solución negativa es perfectamente válida; muchos alumnos dudan y "arreglan" el signo, estropeando un ejercicio correcto. Comprobación: −5 + 8 = 3. ✔

Ejemplo 5: 2x + 3 = 11 (dos pasos)

1. El +3 pasa restando: 2x = 11 − 3 = 8.
2. El 2 pasa dividiendo: x = 8/2 = 4.

Comprobación: 2 · 4 + 3 = 8 + 3 = 11. ✔

Ejemplo 6: 5x − 7 = 18

1. El −7 pasa sumando: 5x = 18 + 7 = 25.
2. El 5 pasa dividiendo: x = 25/5 = 5.

Comprobación: 5 · 5 − 7 = 25 − 7 = 18. ✔

Ejemplo 7: 4 − x = 1 (la x con signo menos)

1. El 4 pasa restando: −x = 1 − 4 = −3.
2. Tenemos −x, no x. Multiplicamos los dos miembros por −1 (o, dicho rápido, "cambiamos todos los signos"): x = 3.

Comprobación: 4 − 3 = 1. ✔ Este caso despista mucho: cuando llegues a −x = número, cambia el signo de los dos miembros y listo.

Ecuaciones con x en los dos miembros

Cuando la incógnita aparece a ambos lados del igual, el plan es agrupar: todos los términos con x a un miembro y todos los números al otro. Por convenio se suelen llevar las x a la izquierda, pero es igual de válido llevarlas al lado donde queden con coeficiente positivo, que evita errores de signo.

Ejemplo 1: 7x − 5 = 3x + 15

1. Transponemos las x: el 3x pasa restando al primer miembro → 7x − 3x − 5 = 15.
2. Transponemos los números: el −5 pasa sumando → 7x − 3x = 15 + 5.
3. Reducimos términos semejantes: 4x = 20.
4. Despejamos: x = 20/4 = 5.

Comprobación: primer miembro 7 · 5 − 5 = 30; segundo miembro 3 · 5 + 15 = 30. ✔

Ejemplo 2: 9 − 2x = x + 3

Aquí conviene llevar las x a la derecha, donde quedarán positivas:

1. El −2x pasa sumando a la derecha: 9 = x + 2x + 3.
2. El +3 pasa restando a la izquierda: 9 − 3 = 3x.
3. Reducimos: 6 = 3x.
4. Despejamos: x = 6/3 = 2.

Comprobación: 9 − 2 · 2 = 5 y 2 + 3 = 5. ✔ Fíjate: que la x acabe despejada "a la derecha" no importa nada; 6 = 3x y 3x = 6 son la misma igualdad.

Ejemplo 3: 6x + 4 = 2x − 8

1. 6x − 2x = −8 − 4
2. 4x = −12
3. x = −12/4 = −3

Comprobación: 6 · (−3) + 4 = −18 + 4 = −14 y 2 · (−3) − 8 = −6 − 8 = −14. ✔

La rutina es siempre la misma y merece la pena interiorizarla como una lista numerada mental:

1. Las x, a un miembro; los números, al otro (cambiando el signo al cruzar el igual).
2. Reducir términos semejantes en cada miembro.
3. Despejar la x pasando el coeficiente dividiendo.
4. Comprobar.

Ecuaciones con paréntesis

Ante un paréntesis, el primer paso es siempre eliminarlo aplicando la propiedad distributiva: el número (con su signo) que multiplica al paréntesis multiplica a cada uno de sus términos.

$$a(b + c) = ab + ac$$

Ejemplo 1: 3(x + 2) = 15

Distribuimos el 3:

$$3x + 6 = 15$$

Ahora es una ecuación normal: 3x = 15 − 6 = 9, luego x = 9/3 = 3.

Comprobación: 3 · (3 + 2) = 3 · 5 = 15. ✔

Atajo válido aquí: como el 3 multiplica a todo el primer miembro, también podías pasarlo dividiendo: x + 2 = 15/3 = 5, de donde x = 3. Solo funciona cuando el paréntesis es el miembro completo.

Ejemplo 2: signo menos delante del paréntesis — 5 − (2x − 3) = 4x − 10

El menos delante del paréntesis equivale a multiplicar por −1: cambia el signo de todos los términos de dentro.

1. Quitamos el paréntesis: 5 − 2x + 3 = 4x − 10. (Ojo: el −3 de dentro se convierte en +3.)
2. Reducimos el primer miembro: 8 − 2x = 4x − 10.
3. Agrupamos: 8 + 10 = 4x + 2x → 18 = 6x.
4. Despejamos: x = 18/6 = 3.

Comprobación: 5 − (2 · 3 − 3) = 5 − 3 = 2 y 4 · 3 − 10 = 2. ✔

Ejemplo 3: varios paréntesis — 4(2x − 1) − 3(x + 2) = 10

1. Distribuimos cada paréntesis con su signo: 8x − 4 − 3x − 6 = 10. (El −3 multiplica a x y a +2: por eso aparece −3x y −6.)
2. Reducimos: 5x − 10 = 10.
3. Transponemos: 5x = 20.
4. Despejamos: x = 4.

Comprobación: 4 · (2 · 4 − 1) − 3 · (4 + 2) = 4 · 7 − 3 · 6 = 28 − 18 = 10. ✔

Ejemplo 4: paréntesis y x en ambos miembros — 2(3x − 4) = 5x + 1

1. Distribuimos: 6x − 8 = 5x + 1.
2. Agrupamos: 6x − 5x = 1 + 8.
3. Reducimos: x = 9.

Comprobación: 2 · (27 − 4) = 2 · 23 = 46 y 5 · 9 + 1 = 46. ✔

Ecuaciones con denominadores

Las ecuaciones con fracciones asustan, pero hay una técnica que las convierte en ecuaciones normales en un solo paso: multiplicar los dos miembros por el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Como el m.c.m. es múltiplo de todos ellos, todas las fracciones desaparecen.

El procedimiento, en orden:

1. Calcular el m.c.m. de los denominadores.
2. Multiplicar todos los términos de los dos miembros por el m.c.m. (¡también los términos que no tienen denominador!).
3. Simplificar cada fracción: queda una ecuación sin denominadores.
4. Resolver como siempre: paréntesis → transponer → agrupar → despejar.

Ejemplo 1: x/2 + x/3 = 5

Los denominadores son 2 y 3; su m.c.m. es 6. Multiplicamos todo por 6:

$$6 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} = 6 \cdot 5 \implies 3x + 2x = 30$$

Reducimos y despejamos: 5x = 30 → x = 6.

Comprobación: 6/2 + 6/3 = 3 + 2 = 5. ✔

Un truco de escritura: dividir el m.c.m. entre cada denominador y multiplicar el resultado por el numerador. Para x/2: 6 ÷ 2 = 3, luego queda 3x. Para x/3: 6 ÷ 3 = 2, luego queda 2x.

Ejemplo 2: (x + 1)/2 = (x − 2)/3 + 2

m.c.m.(2, 3) = 6. Multiplicamos los tres términos por 6:

$$3(x + 1) = 2(x - 2) + 12$$

Fíjate en dos detalles críticos: los numeradores con varios términos quedan entre paréntesis (el 3 multiplica a x + 1 entero), y el término independiente 2 también se multiplica por 6 (6 · 2 = 12). Ahora quitamos paréntesis:

$$3x + 3 = 2x - 4 + 12 \implies 3x + 3 = 2x + 8$$

Agrupamos: 3x − 2x = 8 − 3 → x = 5.

Comprobación: (5 + 1)/2 = 3 y (5 − 2)/3 + 2 = 1 + 2 = 3. ✔

Ejemplo 3: resta de fracciones — (3x − 1)/4 − (x + 1)/2 = 1

m.c.m.(4, 2) = 4. Multiplicamos todo por 4:

$$(3x - 1) - 2(x + 1) = 4$$

El signo menos delante de la segunda fracción se aplica a todo su numerador, por eso el paréntesis es obligatorio. Distribuimos:

$$3x - 1 - 2x - 2 = 4 \implies x - 3 = 4 \implies x = 7$$

Solución: x = 7. Comprobación: (3 · 7 − 1)/4 − (7 + 1)/2 = 20/4 − 8/2 = 5 − 4 = 1. ✔

Ejemplo 4: x/4 − (x − 2)/6 = 3

m.c.m.(4, 6) = 12. Multiplicamos todo por 12:

$$3x - 2(x - 2) = 36 \implies 3x - 2x + 4 = 36 \implies x = 32$$

Solución: x = 32. Comprobación: 32/4 − (32 − 2)/6 = 8 − 30/6 = 8 − 5 = 3. ✔

Si una ecuación tiene paréntesis y denominadores a la vez, el orden recomendado es: primero quitar los paréntesis que estén dentro de los numeradores solo si simplifica, y en general quitar denominadores cuanto antes, tratando cada numerador como un bloque entre paréntesis. El orden global que nunca falla: paréntesis → denominadores → transponer → agrupar → despejar → comprobar.

Ecuaciones sin solución y con infinitas soluciones

A veces, al resolver, las x se cancelan y desaparecen. No es que lo hayas hecho mal: es que la ecuación es de un tipo especial. Hay dos casos, y conviene saber interpretarlos porque caen en exámenes precisamente para ver quién entiende lo que hace.

Caso 1: sin solución (ecuación incompatible)

Resolvamos 2x + 3 = 2x + 7. Transponemos: 2x − 2x = 7 − 3, es decir:

$$0x = 4 \implies 0 = 4$$

Cero por cualquier número es cero, y cero nunca puede valer 4. La igualdad es imposible: no existe ningún valor de x que la cumpla. La ecuación no tiene solución. Tiene sentido si lo piensas: 2x + 3 y 2x + 7 nunca pueden ser iguales, porque el segundo siempre vale 4 unidades más que el primero, valga lo que valga x.

Caso 2: infinitas soluciones (identidad)

Resolvamos 2(2x − 5) = 4x − 10. Distribuimos: 4x − 10 = 4x − 10. Transponemos: 4x − 4x = −10 + 10, es decir:

$$0x = 0 \implies 0 = 0$$

Esto es cierto siempre, valga lo que valga x. Cualquier número es solución: la ecuación tiene infinitas soluciones, porque en realidad no era una ecuación sino una identidad disfrazada (el primer miembro es el segundo con el paréntesis sin desarrollar).

Regla para recordar: si las x desaparecen y queda algo falso (0 = 4), no hay solución; si queda algo verdadero (0 = 0), hay infinitas. Y escribe esa conclusión con palabras en el examen: "la ecuación no tiene solución" o "todo número real es solución". Dejar 0 = 4 escrito sin interpretar suele costar puntos.

Cómo comprobar la solución (y por qué deberías hacerlo siempre)

Comprobar una solución cuesta 20 segundos y convierte un posible error en un ejercicio perfecto. El procedimiento:

1. Sustituye la solución en la ecuación original (no en un paso intermedio, que podría contener ya el error).
2. Calcula el valor de cada miembro por separado, respetando la jerarquía de operaciones.
3. Si ambos miembros dan el mismo número, la solución es correcta. Si no, revisa: el fallo suele estar en un signo al transponer.

Ejemplo completo

Resolvemos 4x − 3 = 2x + 7:

1. 4x − 2x = 7 + 3
2. 2x = 10
3. x = 5

Comprobación sustituyendo x = 5 en la original:

• Primer miembro: 4 · 5 − 3 = 20 − 3 = 17
• Segundo miembro: 2 · 5 + 7 = 10 + 7 = 17

17 = 17: la solución x = 5 es correcta. ✔

Dos consejos prácticos: comprueba con especial cuidado cuando la solución es negativa o una fracción (ahí es donde los errores de signo se delatan), y si los dos miembros no coinciden, no borres todo: repasa la transposición línea a línea, porque el 80 % de las veces el error es un signo.

Problemas con enunciado: traducir palabras a ecuaciones

Los problemas de enunciado son la parte que más se atraganta, porque añaden un paso previo: traducir del castellano al lenguaje algebraico. La estrategia general tiene cinco pasos:

1. Leer el enunciado entero (dos veces) e identificar qué se pregunta.
2. Elegir la incógnita: llamar x a la cantidad desconocida, normalmente la que se pide o la más pequeña.
3. Expresar las demás cantidades en función de x.
4. Plantear la ecuación con la condición que da el enunciado, y resolverla.
5. Interpretar y comprobar: responder con una frase y verificar que cuadra con el enunciado.

Antes de los ejemplos, un mini diccionario de traducciones frecuentes: el doble de un número → 2x; el triple → 3x; la mitad → x/2; un número más 5 → x + 5; dos números consecutivos → x y x + 1; dentro de 6 años tendrá... → (edad actual) + 6; entre los dos tienen... → suma de ambas cantidades.

Problema 1 (edades): el padre y el hijo

Un padre tiene 40 años y su hijo 12. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el doble que la del hijo?

1. Incógnita: x = número de años que tienen que pasar.
2. Cantidades: dentro de x años, el padre tendrá 40 + x y el hijo 12 + x.
3. Condición: la edad del padre será el doble de la del hijo:

$$40 + x = 2(12 + x)$$

4. Resolución: 40 + x = 24 + 2x → 40 − 24 = 2x − x → x = 16.
5. Interpretación: dentro de 16 años. Comprobación: el padre tendrá 40 + 16 = 56 y el hijo 12 + 16 = 28, y efectivamente 56 = 2 · 28. ✔

El error clásico aquí es escribir 2(40 + x) = 12 + x, duplicando al padre en vez de al hijo. Truco: "A será el doble de B" se traduce siempre como A = 2B; el 2 multiplica al pequeño para igualarlo con el grande.

Problema 2 (números consecutivos): suma 72

La suma de tres números consecutivos es 72. ¿Cuáles son?

1. Incógnita: x = el menor de los tres.
2. Cantidades: los consecutivos son x + 1 y x + 2.
3. Ecuación: x + (x + 1) + (x + 2) = 72.
4. Resolución: 3x + 3 = 72 → 3x = 69 → x = 23.
5. Interpretación: los números son 23, 24 y 25. Comprobación: 23 + 24 + 25 = 72. ✔

Problema 3 (dinero): Marta y Luis

Marta tiene el triple de dinero que Luis. Entre los dos tienen 48 €. ¿Cuánto tiene cada uno?

1. Incógnita: x = dinero de Luis (la cantidad pequeña).
2. Cantidades: Marta tiene 3x.
3. Ecuación: x + 3x = 48.
4. Resolución: 4x = 48 → x = 12.
5. Interpretación: Luis tiene 12 € y Marta 3 · 12 = 36 €. Comprobación: 12 + 36 = 48 y 36 es el triple de 12. ✔

Problema 4 (reparto): 120 € entre tres amigos

Tres amigos se reparten 120 €. El segundo recibe el doble que el primero, y el tercero recibe 20 € más que el primero. ¿Cuánto recibe cada uno?

1. Incógnita: x = lo que recibe el primero.
2. Cantidades: el segundo recibe 2x; el tercero, x + 20.
3. Ecuación: x + 2x + (x + 20) = 120.
4. Resolución: 4x + 20 = 120 → 4x = 100 → x = 25.
5. Interpretación: reciben 25 €, 50 € y 45 €. Comprobación: 25 + 50 + 45 = 120; 50 es el doble de 25; 45 = 25 + 20. ✔

Fíjate en que la ecuación de cada problema, una vez planteada, es de las sencillas. La dificultad de los problemas está en la traducción, no en el álgebra: por eso conviene practicar el planteamiento por separado, traduciendo enunciados a ecuaciones sin llegar a resolverlas.

Errores típicos (y cómo corregirlos)

Casi todos los fallos en ecuaciones de primer grado pertenecen a una lista corta y conocida. Repásala antes de cada examen: reconocer tus errores habituales es la forma más rápida de dejar de cometerlos.

Tres hábitos que reducen drásticamente estos errores:

1. Escribe todos los pasos, uno debajo de otro, con los iguales alineados. Los errores de signo viven en los pasos mentales que no se escriben.
2. Rodea el signo de cada término antes de transponerlo: el signo forma parte del término y viaja con él.
3. Comprueba la solución en la ecuación original. Es el detector de errores definitivo, y en un examen puede convertir un 4 en un 7.

Cómo estudiar las ecuaciones y prepararlas para el examen

Las ecuaciones no se estudian leyendo: se estudian resolviendo. Mirar ejemplos resueltos produce una falsa sensación de dominio ("lo entiendo todo") que se desmonta en el examen. Un plan de preparación realista:

1. Domina un nivel antes de pasar al siguiente. El orden natural es: sencillas → con x en los dos miembros → con paréntesis → con denominadores → problemas. Si fallas con los paréntesis, no tiene sentido atacar los denominadores todavía.
2. Resuelve en tandas cortas y frecuentes: 4-5 ecuaciones al día durante una semana rinde mucho más que 30 ecuaciones la tarde antes del examen. La transposición se automatiza con repetición espaciada.
3. Comprueba cada solución y, cuando falles, busca el paso exacto del error y clasifícalo (¿signo?, ¿distributiva?, ¿m.c.m.?). Lleva una lista de tus errores: verás que se repiten dos o tres, siempre los mismos.
4. Rehaz en limpio los ejercicios fallados al día siguiente, sin mirar la corrección. Si vuelve a salir mal, ahí está tu punto débil real.
5. Entrena problemas de enunciado por fases: primero solo plantear (traducir a ecuación, sin resolver), después el proceso completo.
6. Simula el examen: elige 6 ecuaciones variadas (dos sencillas, una con paréntesis, dos con denominadores, un problema) y hazlas con tiempo limitado y sin apuntes.

Un apunte sobre pedir ayuda: la clave no es que alguien te resuelva la ecuación, sino que te haga ver dónde te atascas. Es la filosofía de Profe 24/7: nuestro tutor con IA te guía con pistas paso a paso, nunca te da la solución hecha, y está disponible las 24 horas —también el domingo antes del examen— con contenidos alineados con el temario LOMLOE de Matemáticas de 2º de la ESO. Si además quieres un método de estudio general para la asignatura, tienes nuestra guía sobre cómo aprobar matemáticas.

Ejercicios de práctica con solución

Intenta resolverlos antes de mirar las soluciones, en orden: van de menos a más difícil. Escribe todos los pasos y comprueba cada resultado.

1. x + 9 = 15
2. 4x − 5 = 11
3. 7x = 3x + 20
4. 2x + 7 = 5x − 2
5. 5(x − 2) = 3x + 4
6. 6 − (x − 3) = 2x
7. x/3 + x/4 = 7
8. (x + 2)/5 = (x − 4)/3
9. 3(2x + 1) − 2(x − 3) = 4x + 15
10. La suma de dos números consecutivos es 91. ¿Qué números son?

Soluciones comentadas

1. x = 6. El 9 pasa restando: x = 15 − 9 = 6. Comprobación: 6 + 9 = 15. ✔
2. x = 4. 4x = 11 + 5 = 16 → x = 16/4 = 4. Comprobación: 4 · 4 − 5 = 11. ✔
3. x = 5. 7x − 3x = 20 → 4x = 20 → x = 5. Comprobación: 7 · 5 = 35 y 3 · 5 + 20 = 35. ✔
4. x = 3. 7 + 2 = 5x − 2x → 9 = 3x → x = 3. Comprobación: 2 · 3 + 7 = 13 y 5 · 3 − 2 = 13. ✔
5. x = 7. Distributiva: 5x − 10 = 3x + 4 → 2x = 14 → x = 7. Comprobación: 5 · (7 − 2) = 25 y 3 · 7 + 4 = 25. ✔
6. x = 3. El menos cambia los signos de dentro: 6 − x + 3 = 2x → 9 = 3x → x = 3. Comprobación: 6 − (3 − 3) = 6 y 2 · 3 = 6. ✔
7. x = 12. m.c.m.(3, 4) = 12: 4x + 3x = 84 → 7x = 84 → x = 12. Comprobación: 12/3 + 12/4 = 4 + 3 = 7. ✔
8. x = 13. Multiplicamos en cruz (o por el m.c.m. 15): 3(x + 2) = 5(x − 4) → 3x + 6 = 5x − 20 → 26 = 2x → x = 13. Comprobación: (13 + 2)/5 = 3 y (13 − 4)/3 = 3. ✔
9. Sin solución. 6x + 3 − 2x + 6 = 4x + 15 → 4x + 9 = 4x + 15 → 0x = 6 → 0 = 6, imposible. La ecuación no tiene solución.
10. 45 y 46. Planteamiento: x + (x + 1) = 91 → 2x + 1 = 91 → 2x = 90 → x = 45. Los números son 45 y 46. Comprobación: 45 + 46 = 91. ✔

Si has fallado alguno, no lo dejes pasar: localiza el paso del error, clasifícalo con la tabla de errores típicos y rehazlo en limpio mañana.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una ecuación de primer grado?

Es una igualdad algebraica con una incógnita (normalmente x) elevada a exponente 1, es decir, sin x² ni potencias superiores. Por ejemplo, 2x + 3 = 11. Resolverla consiste en encontrar el valor de x que hace cierta la igualdad; en este caso, x = 4, porque 2 · 4 + 3 = 11. En general tiene una única solución, salvo casos especiales sin solución o con infinitas soluciones.

¿Por qué "lo que suma pasa restando"?

Porque es la versión abreviada de restar el mismo número en los dos miembros. En x + 5 = 12, si restas 5 a ambos lados obtienes x = 12 − 5: el +5 desaparece de la izquierda y "aparece" como −5 a la derecha. No es una regla mágica, sino la operación inversa aplicada a los dos platos de la balanza, escrita de forma rápida.

¿Cambia el signo un número que pasa multiplicando o dividiendo?

No. El cambio de signo solo ocurre con sumas y restas. En 3x = 21, el 3 pasa dividiendo tal cual: x = 21/3 = 7 (no x = 21/(−3)). Y en x/5 = 4, el 5 pasa multiplicando: x = 20. Confundir esto es uno de los errores más frecuentes en los exámenes de la ESO.

¿Qué hago si la solución me sale negativa o con fracciones?

Aceptarla: una solución negativa o fraccionaria es tan válida como una entera. Por ejemplo, x + 8 = 3 tiene solución x = −5. Eso sí, comprueba siempre sustituyendo en la ecuación original, porque los errores de signo se delatan justo en estos casos. En problemas de enunciado, revisa además que la solución tenga sentido real (una edad no puede ser negativa).

¿Qué significa llegar a 0x = 0 o a 0x = 5?

Que la ecuación es de un tipo especial. Si llegas a 0x = 0 (es decir, 0 = 0), cualquier valor de x cumple la igualdad: hay infinitas soluciones y la ecuación es en realidad una identidad. Si llegas a 0x = 5 (es decir, 0 = 5), la igualdad es imposible y la ecuación no tiene solución. En el examen, escribe la conclusión con palabras, no dejes solo el "0 = 5".

¿En qué curso se estudian las ecuaciones de primer grado?

En España se introducen en 1º de la ESO con casos sencillos y se consolidan en 2º de la ESO, donde entran los paréntesis, los denominadores y los problemas de enunciado. Después reaparecen constantemente: sistemas de ecuaciones en 2º-3º, ecuaciones de segundo grado en 3º, y como herramienta en física y química. Por eso dominarlas pronto compensa tanto.

¿Cómo compruebo si mi solución es correcta?

Sustituye el valor obtenido en la ecuación original y calcula cada miembro por separado. Si ambos dan el mismo número, la solución es correcta. Por ejemplo, para 4x − 3 = 2x + 7 con x = 5: el primer miembro da 17 y el segundo también 17, así que x = 5 es correcta. Hazlo siempre: cuesta menos de un minuto y detecta cualquier error de cálculo.

¿Por qué se usa el mínimo común múltiplo para quitar denominadores?

Porque al multiplicar los dos miembros por un múltiplo común de todos los denominadores, cada fracción se simplifica y desaparece. Se elige el mínimo para trabajar con los números más pequeños posibles. En x/2 + x/3 = 5, multiplicar por 6 (m.c.m. de 2 y 3) da 3x + 2x = 30, una ecuación sin fracciones. Recuerda multiplicar también los términos sin denominador.

¿Puede una ecuación de primer grado tener dos soluciones?

No. Una ecuación de primer grado con una incógnita tiene exactamente una solución, o ninguna (caso 0 = 5), o infinitas (caso 0 = 0). Tener exactamente dos soluciones es propio de las ecuaciones de segundo grado, donde la x aparece elevada al cuadrado. Si al resolver una de primer grado te salen "dos valores", hay un error en el proceso.

¿Qué diferencia hay entre una ecuación de primer y de segundo grado?

En la de primer grado la incógnita aparece con exponente 1 (2x + 3 = 11) y se resuelve despejando por transposición. En la de segundo grado aparece x² (x² − 5x + 6 = 0), puede tener hasta dos soluciones y se resuelve con otras técnicas, como la fórmula general. Si ya dominas las de primer grado, el siguiente paso natural es aprender las de segundo grado.

Conclusión

Resolver ecuaciones de primer grado es cuestión de método, no de talento: entiende la balanza, aplica la transposición con las operaciones inversas, respeta el orden (paréntesis → denominadores → transponer → agrupar → despejar) y comprueba siempre la solución. Con la lista de errores típicos a mano y práctica diaria en tandas cortas, es de los temas más agradecidos de la ESO: los exámenes son predecibles y el método funciona siempre.

Y si al practicar te atascas en un paso concreto —ese signo que no cuadra, ese denominador rebelde—, no te quedes con la duda hasta la próxima clase. Prueba Profe 24/7 gratis: te guía con pistas paso a paso hasta que la resuelvas tú, a cualquier hora, con ejercicios del temario de tu curso. La x no se va a despejar sola; tú sí puedes aprender a despejarla.