Derivadas: qué son, cómo se calculan y cómo aprobar el tema (1º y 2º de Bachillerato)

TL;DR

• La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto, es decir, lo rápido que cambia la función justo ahí. Si la función mide una posición, su derivada es la velocidad.
• La definición formal es un límite: f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) − f(a)] / h. Da miedo la primera vez, pero solo dice "cociente incremental cuando el incremento se hace diminuto".
• En la práctica casi nunca derivas con el límite: usas una tabla de derivadas inmediatas (x^n, e^x, ln x, sin x, cos x…) y cuatro reglas: suma, producto, cociente y regla de la cadena.
• La regla de la cadena es la que más suspensos provoca: si hay algo "dentro" de la función, hay que multiplicar por la derivada de ese algo. (x^2 + 1)^3 no se deriva como 3(x^2 + 1)^2, sino como 3(x^2 + 1)^2 · 2x.
• Las derivadas se usan para hallar rectas tangentes, estudiar crecimiento y decrecimiento, localizar máximos y mínimos y resolver problemas de optimización. En Selectividad son puntos casi seguros.
• Se aprueba con volumen de ejercicios, no con teoría: 15-20 derivadas al día durante una semana convierten el tema en el más rentable del curso.

Las derivadas son, probablemente, el tema con peor fama y mejor rentabilidad de todo el Bachillerato. Peor fama porque llegan con una definición llena de límites, incrementos y letras raras que asusta el primer día. Mejor rentabilidad porque, una vez pasado ese primer día, derivar es un procedimiento mecánico: se aprende una tabla, se aprenden cuatro reglas y se practica. No hay que "tener ideas felices" como en un problema de geometría ni memorizar decenas de casos como en trigonometría. Hay que aplicar un algoritmo, y los algoritmos se dominan repitiéndolos.

En este artículo vamos a recorrer el tema completo, desde la idea intuitiva hasta los problemas de optimización que caen en Selectividad. Verás la definición con límite explicada de forma que se entienda (y no solo se copie), la tabla de derivadas inmediatas, las reglas de derivación con ejemplos resueltos paso a paso, las funciones compuestas que más se repiten en los exámenes, las aplicaciones clásicas, catorce ejercicios resueltos de dificultad creciente, los errores típicos que te quitan puntos y un plan de estudio de siete días para llegar al examen con el tema controlado.

Si estás en primero, esto es el final del curso y la base de todo lo que viene después: Matemáticas de 1º de Bachillerato termina donde empieza el análisis de verdad. Si estás en segundo, las derivadas no son un tema más: son la herramienta que usarás en representación de funciones, en optimización, en regla de L'Hôpital y en buena parte de los problemas de examen, tanto en Matemáticas de 2º de Bachillerato como en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, donde aparecen aplicadas a costes, ingresos y beneficios.

Qué es una derivada: la idea intuitiva

Antes de cualquier fórmula, quédate con esta frase: una derivada mide lo rápido que cambia una cosa. Nada más. Todo lo demás son detalles técnicos para que esa idea funcione con precisión.

La pendiente: el concepto de partida

Ya conoces la pendiente de una recta. Si una recta es y = 3x + 2, su pendiente es 3, y eso significa que cada vez que x avanza una unidad, y sube tres. La pendiente se calcula dividiendo lo que sube la función entre lo que avanza:

m = (variación de y) / (variación de x) = Δy / Δx

Una pendiente positiva grande significa una recta muy empinada hacia arriba. Una pendiente negativa significa que la recta baja. Una pendiente cero significa una recta horizontal.

El problema es que las funciones interesantes no son rectas. La parábola y = x^2 no tiene "una" pendiente: es casi plana cerca del origen y cada vez más empinada según te alejas. Preguntar "¿cuál es la pendiente de x^2?" no tiene sentido. Preguntar "¿cuál es la pendiente de x^2 en el punto x = 3?" sí lo tiene. Y la respuesta a esa pregunta es la derivada.

De la pendiente media a la pendiente instantánea

Imagina la curva de f(x) = x^2 y dos puntos sobre ella: el punto de abscisa x = 3 y otro un poco más a la derecha, en x = 3 + h. Si unes esos dos puntos con una recta, obtienes una secante, y su pendiente sí sabes calcularla:

m_secante = [f(3 + h) − f(3)] / h

Eso es la tasa de variación media: cuánto ha cambiado la función de media entre esos dos puntos. Si h = 1, estás midiendo el cambio medio entre x = 3 y x = 4. Si h = 0,1, entre x = 3 y x = 3,1. Cuanto más pequeño hagas h, más se parece esa recta secante a la recta que "roza" la curva justo en x = 3, es decir, a la recta tangente.

Vamos a hacerlo con números para f(x) = x^2 en x = 3:

• Con h = 1: [f(4) − f(3)] / 1 = (16 − 9) / 1 = 7
• Con h = 0,1: [f(3,1) − f(3)] / 0,1 = (9,61 − 9) / 0,1 = 6,1
• Con h = 0,01: [f(3,01) − f(3)] / 0,01 = (9,0601 − 9) / 0,01 = 6,01
• Con h = 0,001: (9,006001 − 9) / 0,001 = 6,001

Los resultados se acercan claramente a 6. Ese 6 es la derivada de x^2 en el punto x = 3. Y no hace falta ser adivino: la derivada de x^2 es 2x, y 2·3 = 6.

Fíjate en lo que ha pasado. No podíamos poner h = 0 directamente porque nos quedaría 0/0, que no significa nada. Pero sí podíamos ver hacia dónde tendían los valores al acercar h a cero. Eso es exactamente lo que hace un límite, y por eso la definición de derivada lleva un límite dentro.

La derivada como velocidad

La interpretación física es la que suele hacer clic definitivamente. Si e(t) es el espacio recorrido por un coche en función del tiempo, entonces:

• [e(t + h) − e(t)] / h es la velocidad media entre el instante t y el instante t + h.
• El límite cuando h tiende a 0 es la velocidad instantánea: lo que marca el velocímetro en ese momento exacto.

Cuando en el coche vas a 90 km/h, ese número no es una media de nada: es una derivada. Es la pendiente de la gráfica espacio-tiempo en ese instante concreto. Y si derivas la velocidad, obtienes la aceleración. Por eso las derivadas son el idioma de la física de 2º de Bachillerato, y por eso quien las domina suele arrastrar consigo la nota de las dos asignaturas.

Otras lecturas de la misma idea, útiles según la rama que estudies:

• En economía, si C(x) es el coste de producir x unidades, C'(x) es el coste marginal: lo que cuesta producir una unidad más.
• En biología, si P(t) es una población, P'(t) es la velocidad de crecimiento de esa población.
• En cualquier gráfica, la derivada positiva significa "sube" y la derivada negativa significa "baja".

La definición con límite, sin miedo

Ahora que sabes qué estamos midiendo, la fórmula se lee sola.

Derivada en un punto

La derivada de f en el punto x = a se define como:

f'(a) = lim(h→0) [f(a + h) − f(a)] / h

Traducido: coge el valor de la función un poquito más allá de a, réstale el valor en a, divide entre ese "poquito" y mira a qué número se acerca todo cuando el poquito se hace infinitamente pequeño.

Existe una versión equivalente que a veces aparece en los libros:

f'(a) = lim(x→a) [f(x) − f(a)] / (x − a)

Es la misma idea escrita con otra letra: en vez de llamar h a la distancia, se trabaja directamente con x y se hace que x se acerque a a.

Función derivada

Si en lugar de fijar un punto concreto dejas la x libre, obtienes una función nueva, la función derivada:

f'(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)] / h

Esa función te da la pendiente en cualquier punto. Es la que usarás el 99 % del tiempo.

Ejemplo 1: derivar f(x) = x^2 con la definición

Este es el ejercicio que más cae cuando piden "derivar aplicando la definición". Paso a paso:

Paso 1. Escribe f(x + h):

f(x + h) = (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2

Paso 2. Monta el cociente incremental:

[f(x + h) − f(x)] / h = [x^2 + 2xh + h^2 − x^2] / h

Paso 3. Simplifica el numerador. Los x^2 se cancelan:

= (2xh + h^2) / h

Paso 4. Saca h factor común y simplifica:

= h(2x + h) / h = 2x + h

Paso 5. Toma el límite cuando h → 0:

f'(x) = lim(h→0) (2x + h) = 2x

Conclusión: la derivada de x^2 es 2x. Y comprobamos lo de antes: en x = 3 vale 6.

Ejemplo 2: derivar f(x) = 1/x con la definición

Paso 1. f(x + h) = 1/(x + h)

Paso 2. Cociente incremental:

[1/(x + h) − 1/x] / h

Paso 3. Resuelve la resta de fracciones del numerador poniendo denominador común x(x + h):

1/(x + h) − 1/x = [x − (x + h)] / [x(x + h)] = −h / [x(x + h)]

Paso 4. Divide entre h (que es lo mismo que multiplicar por 1/h):

= −h / [h · x(x + h)] = −1 / [x(x + h)]

Paso 5. Límite con h → 0:

f'(x) = −1 / (x · x) = −1/x^2

Ejemplo 3: derivar f(x) = raíz de x con la definición

Aquí aparece el truco del conjugado, que conviene tener visto porque es el que más atasca.

Paso 1. Cociente incremental:

[√(x + h) − √x] / h

Paso 2. Multiplica numerador y denominador por el conjugado √(x + h) + √x:

= [(√(x + h) − √x)(√(x + h) + √x)] / [h(√(x + h) + √x)]

Paso 3. El numerador es una suma por diferencia, así que da (x + h) − x = h:

= h / [h(√(x + h) + √x)] = 1 / (√(x + h) + √x)

Paso 4. Límite con h → 0:

f'(x) = 1 / (√x + √x) = 1 / (2√x)

Si te cuesta manejar raíces y potencias fraccionarias, repasa antes potencias y raíces: en derivadas se usan constantemente, porque √x se escribe como x^(1/2) y 1/x^3 como x^(−3), y así se derivan con la regla de la potencia sin pensar.

Notaciones que verás

La misma cosa se escribe de varias formas y conviene reconocerlas todas:

• f'(x): notación de Lagrange, la más habitual en Bachillerato.
• y': igual, cuando la función se llama y.
• dy/dx: notación de Leibniz, muy usada en Física y en integrales.
• D[f(x)]: notación de operador, aparece en algunos libros.

Todas significan "la derivada de esa función respecto a x".

Derivabilidad y continuidad (lo justo)

Dos ideas que caen en teoría y en preguntas cortas:

1. Si una función es derivable en un punto, es continua en ese punto. Tiene sentido: si hay un salto, no puedes trazar una tangente.
2. El recíproco es falso. Una función puede ser continua y no derivable. El ejemplo clásico es f(x) = |x| en x = 0: es continua (no hay salto), pero tiene un pico. Por la izquierda la pendiente es −1 y por la derecha es +1, así que las derivadas laterales no coinciden y la derivada no existe.

Regla práctica: picos, saltos y tangentes verticales son los tres sitios donde una función deja de ser derivable.

Tabla de derivadas inmediatas

Esta tabla hay que sabérsela como las tablas de multiplicar. No es negociable: sin ella no se puede derivar nada.

Tres observaciones que valen puntos:

• La regla de la potencia vale para cualquier exponente, no solo naturales. x^(−2) se deriva como −2x^(−3), y x^(1/3) como (1/3)x^(−2/3). Convertir raíces y fracciones en potencias antes de derivar ahorra la mitad de los errores.
• e^x es la única función que es su propia derivada. Por eso aparece en todas partes.
• El signo menos de la derivada de cos x es el error más repetido de todo el temario. cos → −sin, con menos. sin → cos, sin menos.

Versión compuesta de la tabla

Cuando dentro de la función hay algo más que una x pelada (llamémoslo u = u(x)), la tabla se convierte en esto otro. Esta es, en el fondo, la regla de la cadena metida dentro de la tabla:

Si te aprendes directamente esta segunda tabla, la primera es un caso particular con u = x (y por tanto u' = 1). Mucha gente ahorra tiempo memorizando solo la versión compuesta.

Las reglas de derivación, con ejemplos paso a paso

Regla 1: suma y resta

(f ± g)' = f' ± g'

La derivada de una suma es la suma de las derivadas. Es la regla amable: se deriva término a término.

Ejemplo. f(x) = 4x^3 − 7x^2 + 2x − 9

• Derivada de 4x^3: 4 · 3x^2 = 12x^2
• Derivada de −7x^2: −7 · 2x = −14x
• Derivada de 2x: 2
• Derivada de −9: 0

f'(x) = 12x^2 − 14x + 2

Regla 2: constante por función

(k·f)' = k·f'

Las constantes multiplicando se quedan quietas y solo derivas lo que las acompaña.

Ejemplo. f(x) = 5·sin x → f'(x) = 5·cos x. Y f(x) = 3·ln x → f'(x) = 3/x.

Cuidado: esto vale para constantes multiplicando, no sumando. En f(x) = sin x + 5 la constante desaparece (su derivada es 0); en f(x) = 5·sin x se mantiene.

Regla 3: producto

(f · g)' = f' · g + f · g'

Se lee: "derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo".

El error número uno del tema es pensar que (f·g)' = f'·g'. Es falso. Compruébalo rápido: si f = x y g = x, entonces f·g = x^2, cuya derivada es 2x. Pero f'·g' = 1·1 = 1. No coincide.

Ejemplo 1. f(x) = x^2 · sin x

• Primero: x^2, su derivada 2x
• Segundo: sin x, su derivada cos x

f'(x) = 2x · sin x + x^2 · cos x

Ejemplo 2. f(x) = (3x^2 − 1) · e^x

• Derivada del primero: 6x
• Derivada del segundo: e^x

f'(x) = 6x · e^x + (3x^2 − 1) · e^x

Sacando e^x factor común, que es lo que suelen pedir:

f'(x) = e^x (3x^2 + 6x − 1)

Ejemplo 3. f(x) = x · ln x

f'(x) = 1 · ln x + x · (1/x) = ln x + 1

Este resultado conviene tenerlo en la cabeza porque aparece en muchos problemas de optimización.

Regla 4: cociente

(f / g)' = (f' · g − f · g') / g^2

Se lee: "derivada del de arriba por el de abajo, menos el de arriba por la derivada del de abajo, todo partido por el de abajo al cuadrado".

Aquí el orden sí importa, porque hay una resta. Cambiarlo te deja el signo cambiado y el ejercicio mal.

Ejemplo 1. f(x) = (2x + 1) / (x − 3)

• f' del numerador: 2
• g' del denominador: 1

f'(x) = [2·(x − 3) − (2x + 1)·1] / (x − 3)^2

Desarrollamos el numerador: 2x − 6 − 2x − 1 = −7

f'(x) = −7 / (x − 3)^2

Como el numerador es constante y el denominador es un cuadrado (siempre positivo), la derivada es siempre negativa: la función es decreciente en todo su dominio. Eso es información gratis para un examen.

Ejemplo 2. f(x) = sin x / x

f'(x) = [cos x · x − sin x · 1] / x^2 = (x·cos x − sin x) / x^2

Ejemplo 3. f(x) = (x^2 + 1) / (x^2 − 1)

f'(x) = [2x·(x^2 − 1) − (x^2 + 1)·2x] / (x^2 − 1)^2

Numerador: 2x^3 − 2x − 2x^3 − 2x = −4x

f'(x) = −4x / (x^2 − 1)^2

Truco útil: cuando el numerador es una constante, no uses la regla del cociente. f(x) = 5/(x^2 + 1) se puede escribir como 5·(x^2 + 1)^(−1) y derivar con la cadena: f'(x) = 5·(−1)(x^2 + 1)^(−2)·2x = −10x / (x^2 + 1)^2. Salen menos operaciones y menos errores.

Regla 5: la regla de la cadena

Esta es la reina del tema. Si la dominas, el examen es tuyo; si no, se te caerá medio ejercicio detrás de otro.

[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)

En versión práctica, con u = u(x):

"Deriva la función de fuera dejando lo de dentro igual, y multiplica por la derivada de lo de dentro."

Esa multiplicación final es lo que casi todo el mundo olvida al principio.

Ejemplo 1. f(x) = (3x^2 − 5x + 1)^4

• Lo de fuera es "algo elevado a 4". Su derivada es 4·(algo)^3.
• Lo de dentro es u = 3x^2 − 5x + 1, cuya derivada es u' = 6x − 5.

f'(x) = 4·(3x^2 − 5x + 1)^3 · (6x − 5)

Ejemplo 2. f(x) = sin(x^3)

• Fuera: seno → derivada coseno, con lo de dentro intacto: cos(x^3)
• Dentro: u = x^3 → u' = 3x^2

f'(x) = cos(x^3) · 3x^2 = 3x^2 · cos(x^3)

Fíjate en la diferencia con f(x) = sin^3(x), que significa (sin x)^3. Ahí lo de fuera es el cubo y lo de dentro es el seno:

f'(x) = 3(sin x)^2 · cos x = 3 sin^2 x · cos x

Son funciones distintas y derivadas distintas. Leer bien qué está dentro de qué es la mitad del trabajo.

Ejemplo 3. f(x) = e^(2x + 1)

• Fuera: exponencial → se queda igual: e^(2x + 1)
• Dentro: u = 2x + 1 → u' = 2

f'(x) = 2·e^(2x + 1)

Ejemplo 4. f(x) = ln(x^2 + 1)

Con la fórmula ln u → u'/u:

f'(x) = 2x / (x^2 + 1)

Ejemplo 5. f(x) = √(x^2 + 4)

Con √u → u' / (2√u):

f'(x) = 2x / (2√(x^2 + 4)) = x / √(x^2 + 4)

Ejemplo 6 (cadena doble). f(x) = sin^2(3x)

Aquí hay tres capas: el cuadrado, el seno y el 3x. Se deriva de fuera hacia dentro sin saltarse ninguna:

f'(x) = 2·sin(3x) · cos(3x) · 3 = 6 sin(3x) cos(3x)

Y si quieres dejarlo más elegante, usando sin(2a) = 2 sin a cos a: f'(x) = 3·sin(6x).

Ejemplo 7. f(x) = ln(sin x)

f'(x) = cos x / sin x

Ejemplo 8. f(x) = e^(x^2)

f'(x) = e^(x^2) · 2x = 2x·e^(x^2)

Un detalle que engaña a mucha gente: e^(x^2) y (e^x)^2 no son lo mismo. La segunda es e^(2x), cuya derivada es 2e^(2x).

Derivadas compuestas típicas de examen

Estas combinaciones se repiten curso tras curso. Si las reconoces de un vistazo, ganas tiempo y seguridad.

Y dos casos algo más avanzados, típicos de 2º de Bachillerato:

Derivación logarítmica. Cuando la x está en la base y en el exponente, como f(x) = x^x, no valen ni la regla de la potencia ni la de la exponencial. Se toman logaritmos:

• y = x^x
• ln y = x·ln x
• Derivamos los dos lados: y'/y = ln x + 1
• Despejamos: y' = y·(ln x + 1) = x^x (ln x + 1)

Simplificar antes de derivar. f(x) = ln[(x + 1)/(x − 1)] se puede escribir como ln(x + 1) − ln(x − 1) y derivar así:

f'(x) = 1/(x + 1) − 1/(x − 1) = [(x − 1) − (x + 1)] / (x^2 − 1) = −2 / (x^2 − 1)

Hacerlo con la regla del cociente sale igual, pero cuesta el triple. Antes de derivar, mira siempre si puedes simplificar: propiedades de logaritmos, separar fracciones, desarrollar productos sencillos. Es el consejo que más minutos ahorra en un examen.

Aplicaciones de las derivadas

Derivar no es el objetivo, es la herramienta. Estas son las cuatro aplicaciones que caen sí o sí.

Recta tangente a una curva

La ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x = a es:

y = f(a) + f'(a)·(x − a)

Solo necesitas dos números: la altura del punto, f(a), y la pendiente, f'(a).

Ejemplo. Halla la recta tangente a f(x) = x^2 − 4x + 3 en x = 3.

1. Punto: f(3) = 9 − 12 + 3 = 0. El punto es (3, 0).
2. Derivada: f'(x) = 2x − 4.
3. Pendiente: f'(3) = 6 − 4 = 2.
4. Recta: y = 0 + 2(x − 3) → y = 2x − 6

Ejemplo. Recta tangente a f(x) = ln x en x = 1.

1. f(1) = 0, punto (1, 0)
2. f'(x) = 1/x, f'(1) = 1
3. y = 0 + 1(x − 1) → y = x − 1

La recta normal es la perpendicular a la tangente en ese punto, y su pendiente es −1/f'(a). En el primer ejemplo sería y = 0 − (1/2)(x − 3), es decir, y = −x/2 + 3/2.

Crecimiento y decrecimiento

El signo de la derivada te dice si la función sube o baja:

• Si f'(x) > 0 en un intervalo, f es creciente ahí.
• Si f'(x) < 0 en un intervalo, f es decreciente ahí.
• Si f'(x) = 0, hay un punto crítico: candidato a máximo, mínimo o punto de inflexión con tangente horizontal.

Procedimiento estándar (memorízalo, es siempre igual):

1. Calcula f'(x).
2. Resuelve f'(x) = 0 y localiza también los puntos donde f' no existe.
3. Divide la recta real en intervalos con esos valores (y con los puntos que no estén en el dominio).
4. Toma un número de prueba dentro de cada intervalo y mira el signo de f'.
5. Escribe la conclusión con intervalos.

Ejemplo completo. Estudia el crecimiento de f(x) = x^3 − 3x.

1. f'(x) = 3x^2 − 3
2. 3x^2 − 3 = 0 → x^2 = 1 → x = −1 y x = 1
3. Intervalos: (−∞, −1), (−1, 1), (1, +∞)
4. Signos:
   • En x = −2: f'(−2) = 12 − 3 = 9 > 0 → creciente
   • En x = 0: f'(0) = −3 < 0 → decreciente
   • En x = 2: f'(2) = 12 − 3 = 9 > 0 → creciente
5. Conclusión: creciente en (−∞, −1) ∪ (1, +∞) y decreciente en (−1, 1)

Resolver f'(x) = 0 suele acabar en una ecuación de segundo grado, así que si esa parte te falla, el fallo no es de derivadas: repasa ecuaciones de segundo grado antes de seguir. Es sorprendente la cantidad de exámenes que se pierden por una discriminante mal calculada después de haber derivado perfectamente.

Máximos y mínimos relativos

Continuando el ejemplo anterior:

• En x = −1 la función pasa de crecer a decrecer → máximo relativo. Su valor es f(−1) = (−1)^3 − 3(−1) = −1 + 3 = 2. Punto (−1, 2).
• En x = 1 pasa de decrecer a crecer → mínimo relativo. f(1) = 1 − 3 = −2. Punto (1, −2).

Hay dos criterios para clasificar un punto crítico:

Criterio de la primera derivada. Mira cómo cambia el signo de f' alrededor del punto: de + a − es máximo; de − a + es mínimo; si no cambia, no es ni una cosa ni otra.

Criterio de la segunda derivada. Si f'(a) = 0:

• f''(a) < 0 → máximo relativo
• f''(a) > 0 → mínimo relativo
• f''(a) = 0 → no concluye, hay que usar el otro criterio

En nuestro ejemplo, f''(x) = 6x. Entonces f''(−1) = −6 < 0 (máximo) y f''(1) = 6 > 0 (mínimo). Coincide.

Truco para no confundirlos: cara triste, mínimo; cara contenta, máximo. Si f'' es positiva la curva es cóncava hacia arriba (forma de U, una sonrisa) y por tanto el punto crítico es un mínimo.

Curvatura y puntos de inflexión

La segunda derivada, f''(x), informa de la forma de la curva:

• f''(x) > 0 → convexa (forma de U, cóncava hacia arriba)
• f''(x) < 0 → cóncava (forma de ∩, cóncava hacia abajo)
• f''(x) = 0 con cambio de signo → punto de inflexión: ahí la curva cambia de curvatura

En f(x) = x^3 − 3x: f''(x) = 6x se anula en x = 0 y cambia de signo (negativa antes, positiva después), así que hay un punto de inflexión en (0, 0).

Aviso de nomenclatura: en España, algunos libros llaman "cóncava" a lo que otros llaman "convexa". En el examen, dibuja o describe la forma (∪ o ∩) además de poner el nombre, y así no dependes del criterio del corrector.

Optimización: los problemas de enunciado

Son los que más puntos valen y los que más gente deja en blanco. El método es siempre el mismo:

1. Nombra las variables y haz un dibujo si hay geometría.
2. Escribe la función a optimizar (la que hay que hacer máxima o mínima).
3. Busca la condición o ligadura que relaciona las variables y despeja una en función de la otra.
4. Sustituye para que la función dependa de una sola variable.
5. Deriva, iguala a cero y resuelve.
6. Comprueba que es máximo o mínimo (segunda derivada o estudio del signo) y descarta soluciones sin sentido (longitudes negativas, por ejemplo).
7. Responde a la pregunta del enunciado, no solo al valor de x.

Problema 1. De todos los rectángulos de perímetro 20 cm, ¿cuál tiene área máxima?

• Variables: base x, altura y.
• Función a maximizar: A = x·y
• Ligadura: 2x + 2y = 20 → x + y = 10 → y = 10 − x
• Sustituyendo: A(x) = x(10 − x) = 10x − x^2
• Derivamos: A'(x) = 10 − 2x. Igualamos a cero: 10 − 2x = 0 → x = 5
• Comprobamos: A''(x) = −2 < 0, es máximo.
• Entonces y = 10 − 5 = 5.

Respuesta: el cuadrado de lado 5 cm, con área 25 cm². (Curiosidad que conviene recordar: entre todos los rectángulos de igual perímetro, el de área máxima siempre es el cuadrado.)

Problema 2. Se quiere vallar un terreno rectangular de 200 m² aprovechando un muro que ya existe en uno de los lados. ¿Qué dimensiones minimizan la valla necesaria?

• Variables: x el lado paralelo al muro, y los dos lados perpendiculares.
• Función a minimizar: L = x + 2y (el lado del muro no se valla)
• Ligadura: x·y = 200 → x = 200/y
• Sustituyendo: L(y) = 200/y + 2y
• Derivamos: L'(y) = −200/y^2 + 2
• Igualamos a cero: 2 = 200/y^2 → y^2 = 100 → y = 10 (descartamos y = −10 por ser una longitud)
• Comprobamos: L''(y) = 400/y^3, y en y = 10 sale positiva → mínimo.
• Entonces x = 200/10 = 20.

Respuesta: 20 m de lado paralelo al muro y 10 m de los otros dos, con 40 m de valla.

Problema 3. De una cartulina cuadrada de 12 cm de lado se recortan cuadrados iguales en las esquinas y se dobla para formar una caja sin tapa. ¿Cuánto debe medir el lado del cuadrado recortado para que el volumen sea máximo?

• Variable: x = lado del cuadrado recortado.
• La base de la caja mide (12 − 2x) por (12 − 2x) y la altura es x.
• Función a maximizar: V(x) = x(12 − 2x)^2, con 0 < x < 6.
• Derivamos usando la regla del producto y la de la cadena:

V'(x) = (12 − 2x)^2 + x·2(12 − 2x)·(−2) = (12 − 2x)^2 − 4x(12 − 2x)

• Sacamos factor común (12 − 2x):

V'(x) = (12 − 2x)·[(12 − 2x) − 4x] = (12 − 2x)(12 − 6x)

• Igualamos a cero: x = 6 (descartado, la caja tendría base nula) o x = 2.
• Comprobamos el signo: para x = 1, V'(1) = 10·6 = 60 > 0; para x = 3, V'(3) = 6·(−6) = −36 < 0. Pasa de + a −: máximo.

Respuesta: hay que recortar cuadrados de 2 cm de lado, y el volumen máximo es V(2) = 2·8^2 = 128 cm³.

Este tipo de problema es exactamente lo que más se repite en las pruebas de acceso. Si estás preparando la EBAU, mira también cómo preparar la Selectividad: saber qué se repite cada año cambia por completo la forma de estudiar el último mes.

14 ejercicios resueltos de dificultad creciente

Haz cada uno tapando la solución. Solo cuenta lo que te sale sin mirar.

Ejercicio 1 (polinomio)

f(x) = 5x^3 − 2x^2 + 7x − 4

Término a término: 15x^2 − 4x + 7 − 0

f'(x) = 15x^2 − 4x + 7

Ejercicio 2 (potencias negativas y raíces)

f(x) = 3/x^2 + 4√x

Primero reescribimos: f(x) = 3x^(−2) + 4x^(1/2)

• Derivada de 3x^(−2): 3·(−2)x^(−3) = −6x^(−3) = −6/x^3
• Derivada de 4x^(1/2): 4·(1/2)x^(−1/2) = 2x^(−1/2) = 2/√x

f'(x) = −6/x^3 + 2/√x

Ejercicio 3 (producto con exponencial)

f(x) = x^2·e^x

f'(x) = 2x·e^x + x^2·e^x = e^x(x^2 + 2x) = x·e^x(x + 2)

Ejercicio 4 (cociente)

f(x) = (x^2 − 1)/(x + 2)

f'(x) = [2x(x + 2) − (x^2 − 1)·1] / (x + 2)^2

Numerador: 2x^2 + 4x − x^2 + 1 = x^2 + 4x + 1

f'(x) = (x^2 + 4x + 1) / (x + 2)^2

Ejercicio 5 (cadena con seno)

f(x) = sin(5x^2 − 3)

• Fuera: seno → cos(5x^2 − 3)
• Dentro: u' = 10x

f'(x) = 10x·cos(5x^2 − 3)

Ejercicio 6 (cadena con logaritmo)

f(x) = ln(3x^2 + 2x)

Con ln u → u'/u:

f'(x) = (6x + 2) / (3x^2 + 2x)

Ejercicio 7 (exponencial de una función trigonométrica)

f(x) = e^(sin x)

• Fuera: exponencial → e^(sin x)
• Dentro: derivada de sin x, que es cos x

f'(x) = cos x · e^(sin x)

Ejercicio 8 (producto + cadena)

f(x) = (2x + 1)^5 · (x − 3)

• Derivada del primer factor (cadena): 5(2x + 1)^4·2 = 10(2x + 1)^4
• Aplicamos la regla del producto:

f'(x) = 10(2x + 1)^4·(x − 3) + (2x + 1)^5·1

• Sacamos factor común (2x + 1)^4:

f'(x) = (2x + 1)^4·[10(x − 3) + (2x + 1)] = (2x + 1)^4·(10x − 30 + 2x + 1)

f'(x) = (2x + 1)^4 (12x − 29)

Sacar factor común no es opcional: si luego hay que igualar a cero para buscar máximos, la expresión factorizada es la única manejable.

Ejercicio 9 (tangente compuesta)

f(x) = tan(3x)

Con tan u → u'/cos^2 u:

f'(x) = 3 / cos^2(3x)

Ejercicio 10 (logaritmo de un cociente)

f(x) = ln[(x + 1)/(x − 1)]

Simplificamos primero con las propiedades del logaritmo:

f(x) = ln(x + 1) − ln(x − 1)

f'(x) = 1/(x + 1) − 1/(x − 1) = [(x − 1) − (x + 1)] / [(x + 1)(x − 1)]

f'(x) = −2 / (x^2 − 1)

Ejercicio 11 (cadena doble con raíz y exponencial)

f(x) = √(e^(2x) + 1)

• Fuera: raíz → 1 / (2√(e^(2x) + 1))
• Dentro: derivada de e^(2x) + 1, que es 2e^(2x)

f'(x) = 2e^(2x) / (2√(e^(2x) + 1))

f'(x) = e^(2x) / √(e^(2x) + 1)

Ejercicio 12 (arcotangente compuesta)

f(x) = arctan(x^2)

Con arctan u → u'/(1 + u^2):

f'(x) = 2x / (1 + x^4)

Ojo con el denominador: es (x^2)^2 = x^4, no x^2.

Ejercicio 13 (cociente trigonométrico con simplificación)

f(x) = sin x / (1 + cos x)

f'(x) = [cos x·(1 + cos x) − sin x·(−sin x)] / (1 + cos x)^2

Numerador: cos x + cos²x + sin²x = cos x + 1 (porque sin²x + cos²x = 1)

f'(x) = (1 + cos x) / (1 + cos x)^2

f'(x) = 1 / (1 + cos x)

Cuando un resultado se simplifica tanto, suele ser señal de que vas bien. Simplifica siempre: los correctores lo valoran y, si el ejercicio sigue, te ahorra trabajo.

Ejercicio 14 (derivación logarítmica)

f(x) = x^x, con x > 0

No se puede usar ni la regla de la potencia (el exponente no es constante) ni la exponencial (la base no es constante). Tomamos logaritmos:

• y = x^x
• ln y = x·ln x
• Derivamos ambos lados (a la izquierda, cadena): y'/y = 1·ln x + x·(1/x) = ln x + 1
• Despejamos: y' = y(ln x + 1)

f'(x) = x^x (ln x + 1)

Los 10 errores típicos que más puntos cuestan

1. Creer que la derivada de un producto es el producto de las derivadas. (x·sin x)' no es cos x. Hay que aplicar la regla completa.
2. Olvidar la regla de la cadena. La derivada de (x^2 + 1)^3 no es 3(x^2 + 1)^2, sino 3(x^2 + 1)^2·2x. Si hay algo dentro, hay que multiplicar por su derivada. Siempre.
3. Perder el signo menos del coseno. (cos x)' = −sin x. Este menos se olvida en uno de cada tres exámenes.
4. Invertir el orden en la regla del cociente. Es (arriba)'·(abajo) − (arriba)·(abajo)', en ese orden. Al revés, todo el resultado cambia de signo.
5. Confundir e^(2x) con (e^x)^2 o con e^(x^2). Las dos primeras son iguales entre sí (derivada 2e^(2x)); la tercera es otra función (derivada 2x·e^(x^2)).
6. Derivar sin simplificar primero. ln(x^3) es 3·ln x, cuya derivada es 3/x, y se hace en cinco segundos. Con la cadena directa también sale, pero tardas el triple y te expones a errores.
7. No convertir raíces y fracciones en potencias. 1/x^4 es x^(−4) y se deriva en un paso: −4x^(−5). Intentarlo con la regla del cociente es perder tiempo.
8. Confundir f'(x) con f'(a). f'(x) es una función; f'(a) es un número, el resultado de sustituir. Cuando piden la pendiente de la tangente en un punto, hay que sustituir.
9. Igualar a cero la función en lugar de la derivada. Para buscar máximos y mínimos se resuelve f'(x) = 0, no f(x) = 0. Parece obvio y se falla mucho bajo presión.
10. Dar como respuesta la x en un problema de optimización. Si preguntan las dimensiones, hay que dar las dimensiones; si preguntan el volumen máximo, hay que calcularlo. Un ejercicio perfecto puede perder medio punto por no contestar a lo que se pregunta.

Un consejo de método: cuando corrijas tus ejercicios, anota en una libreta cada error y de qué tipo es. En dos días verás que repites siempre los mismos dos o tres. Atacar esos dos o tres concretos sube más la nota que hacer cincuenta derivadas nuevas. Es una de las ideas centrales de cualquier sistema serio de técnicas de estudio: estudiar lo que fallas, no lo que ya sabes.

Plan de estudio de 7 días para dominar las derivadas

Este plan asume entre 45 y 60 minutos diarios. Funciona si lo haces con papel y lápiz, no leyendo.

Día 1 — Concepto y tabla. Lee la parte de la idea intuitiva hasta entenderla de verdad (pendiente, velocidad, tangente). Después copia la tabla de derivadas inmediatas a mano, dos veces. Al final del día, tápala e intenta escribirla de memoria. Haz 10 derivadas de polinomios sencillos.

Día 2 — Definición y potencias. Deriva con la definición x^2, 3x, 1/x y √x. No para usarlo siempre, sino porque cae en teoría y porque entender de dónde sale la tabla la hace mucho más fácil de recordar. Luego, 15 derivadas con potencias, raíces y fracciones convertidas a exponentes.

Día 3 — Producto y cociente. Repasa las dos reglas y haz 15 ejercicios mezclando ambas. Termina cada uno sacando factor común y simplificando. Si el resultado te queda enorme, revisa: casi siempre hay una simplificación que se te ha escapado.

Día 4 — Regla de la cadena. El día clave. Empieza con casos de una sola capa (e^(3x), ln(2x+1), sin(x^2)), sigue con dos capas y termina con tres. Haz 20 ejercicios. Si acabas el día haciendo cadenas sin pensar, el tema está ganado.

Día 5 — Mezcla total. 20 derivadas sin saber de antemano qué regla toca, que es exactamente la situación del examen. Cronométrate: dos minutos por derivada como máximo. La velocidad importa, porque en el examen las derivadas son el medio, no el fin.

Día 6 — Aplicaciones. Rectas tangentes, crecimiento, máximos y mínimos. Haz un estudio completo de dos funciones (una polinómica y una racional) y tres problemas de optimización con el método de los siete pasos.

Día 7 — Simulacro y repaso de errores. Coge un examen real de tu profesor o de la EBAU de tu comunidad y hazlo en las condiciones del examen: sin apuntes, con tiempo medido. Después corrígelo y dedica el resto del tiempo solo a los fallos.

Si en algún día del plan te bloqueas y no tienes a quién preguntar a las once de la noche, ahí es donde entra Profe 24/7: un profesor particular con IA que está disponible a cualquier hora y que, cuando le enseñas una derivada mal hecha, no te suelta el resultado correcto, sino que te pregunta dónde crees que está el fallo y te va dando pistas hasta que lo encuentras tú. Para un tema como este, donde el error suele ser siempre el mismo y muy concreto, ese enfoque vale más que cualquier solucionario.

Cómo se estudia realmente este tema

Tres ideas que marcan la diferencia entre el que aprueba raspado y el que saca un notable:

Primera: derivar es una destreza motriz, no un conocimiento. Se parece más a aprender a conducir que a aprender la lista de los reyes godos. Puedes entender perfectamente la regla de la cadena y seguir fallándola en el examen si no la has repetido lo suficiente. El número mágico está en torno a 150-200 derivadas hechas a mano antes del examen. Suena mucho; son 25 al día durante una semana.

Segunda: corrige con criterio. Mirar la solución y decir "ah, vale" no sirve de nada. Hay que rehacer el ejercicio desde cero después de ver el fallo. El aprendizaje ocurre al rehacerlo, no al leerlo. Esta es una de las razones por las que en Profe 24/7 el sistema no da la respuesta hecha: la respuesta regalada se olvida en diez minutos, la respuesta que has reconstruido tú se queda.

Tercera: las derivadas no se estudian solas. Se apoyan en álgebra básica (factorizar, operar con fracciones, manejar potencias) y en ecuaciones. Si tu problema real es que fallas al resolver 3x^2 − 3 = 0 o al simplificar una fracción algebraica, no arreglarás nada haciendo más derivadas. Detecta dónde está la grieta y tápala primero. En cómo aprobar Matemáticas tienes el enfoque completo para identificar ese tipo de lagunas de cursos anteriores, que son las que hunden a mucha gente en Bachillerato sin que sepan por qué.

Preguntas frecuentes sobre derivadas

¿Qué es una derivada en palabras sencillas?

Una derivada mide lo rápido que cambia una función en un punto concreto. Geométricamente es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto; físicamente, si la función mide posición, la derivada es la velocidad. Un valor positivo indica que la función crece; uno negativo, que decrece; y cero, que está momentáneamente plana.

¿Cómo se hace una derivada paso a paso?

Primero identifica la estructura de la función: ¿es una suma, un producto, un cociente o una composición? Después aplica la regla correspondiente usando la tabla de derivadas inmediatas. Si hay una función dentro de otra, aplica la regla de la cadena: deriva la de fuera dejando la de dentro igual y multiplica por la derivada de lo de dentro. Por último, simplifica.

¿Para qué sirve la regla de la cadena?

Sirve para derivar funciones compuestas, es decir, funciones que tienen otra función dentro, como sin(x^2), e^(3x) o (2x+1)^5. La regla dice que se deriva la función exterior manteniendo intacto el interior y luego se multiplica por la derivada del interior. Olvidar esa multiplicación final es el error más frecuente del tema.

¿Cómo se calculan los máximos y mínimos con derivadas?

Calcula f'(x), resuelve la ecuación f'(x) = 0 y obtén los puntos críticos. Después clasifícalos: con la segunda derivada, si f''(a) es negativa hay máximo y si es positiva hay mínimo. Alternativamente, estudia el signo de f' antes y después del punto: de positivo a negativo es máximo, de negativo a positivo es mínimo.

¿Cuál es la diferencia entre derivada e integral?

La derivada mide el ritmo de cambio de una función; la integral acumula, y sirve para calcular áreas bajo una curva. Son operaciones inversas: si derivas una función y luego integras el resultado, recuperas la función original salvo una constante. En Bachillerato se estudian primero las derivadas porque las integrales se calculan buscando "qué función derivada da esto".

¿Hay que saberse la tabla de derivadas de memoria?

Sí. En la mayoría de exámenes de Bachillerato y en la EBAU no se facilita formulario, y aunque se facilitara, buscar cada derivada en una tabla consume un tiempo que no tienes. Lo mínimo imprescindible es dominar x^n, e^x, ln x, sin x, cos x y tan x, junto con sus versiones compuestas con la regla de la cadena.

¿Por qué la derivada de una constante es cero?

Porque una constante no cambia. Si f(x) = 7, la función vale 7 para cualquier x, así que su variación siempre es nula y su gráfica es una recta horizontal de pendiente cero. Aplicando la definición: [f(x+h) − f(x)]/h = (7 − 7)/h = 0, y el límite de 0 es 0.

¿Cuánto se tarda en aprender a derivar bien?

Con práctica diaria, una semana basta para dominar la mecánica de derivar y dos para aplicarla con soltura a rectas tangentes, crecimiento y optimización. La clave no son las horas de teoría, sino el volumen de ejercicios: unas 150 derivadas hechas a mano y corregidas marcan la diferencia entre entender el tema y ejecutarlo bajo la presión de un examen.

En resumen

Las derivadas miden el cambio. Esa es toda la idea. La definición con límite explica de dónde sale, la tabla y las reglas te permiten calcularlas sin pensar, y las aplicaciones (tangentes, crecimiento, extremos, optimización) son la razón por la que existen y lo que realmente te van a preguntar en el examen.

El tema tiene una curva de aprendizaje corta y empinada: los tres primeros días cuesta, y a partir del cuarto todo empieza a salir solo. No hay atajo posible que sustituya a las 150 derivadas, pero sí hay una forma de hacerlas mucho más eficientes: corregir bien, detectar tu patrón de error y machacar precisamente eso. Si quieres compañía en ese proceso, en Profe 24/7 puedes mandar una foto de tu ejercicio a cualquier hora y recibir la pista exacta que necesitas para desatascarte, no la solución copiada. Que es, al final, la única forma de que el día del examen la derivada te salga a ti.