Potencias y raíces: propiedades y ejercicios resueltos paso a paso

TL;DR

Una potencia es una multiplicación abreviada: en 2⁵, el 2 es la base (el número que se repite) y el 5 es el exponente (cuántas veces se repite). 2⁵ = 2·2·2·2·2 = 32. Las propiedades de las potencias solo funcionan cuando las bases coinciden: al multiplicar se suman los exponentes (a^m·a^n = a^(m+n)), al dividir se restan (a^m : a^n = a^(m−n)), y en una potencia de potencia se multiplican ((a^m)^n = a^(m·n)). Además, a⁰ = 1 (con a ≠ 0) y a^(−n) = 1/aⁿ. Una raíz no es una operación aparte: es una potencia de exponente fraccionario, porque ⁿ√a = a^(1/n). Por eso todas las reglas anteriores sirven también para los radicales.

Por qué este tema se atasca (y por qué no debería)

Las potencias son el primer tema de la ESO en el que las matemáticas dejan de ser "hacer cuentas" y pasan a ser "aplicar reglas". Y ahí es donde mucha gente se pierde: no porque las reglas sean difíciles, sino porque son cinco o seis reglas parecidas entre sí que se estudian de memoria, sin entender de dónde salen. El resultado es previsible: en el examen aparece 2³ · 2⁴ y alguien escribe 4⁷, o aparece 2³ + 2⁴ y alguien escribe 2⁷. Ninguna de las dos cosas es cierta.

La buena noticia es que todas las propiedades de las potencias salen de una sola idea: una potencia es una multiplicación repetida. Si entiendes eso, no necesitas memorizar nada, porque puedes reconstruir cualquier regla en diez segundos escribiendo la multiplicación completa. Y las raíces, que suelen dar todavía más respeto, se vuelven mansas en cuanto ves que una raíz es una potencia con exponente fraccionario: ninguna regla nueva, las mismas de siempre aplicadas a exponentes como 1/2 o 1/3.

Este tutorial recorre el tema entero, de menos a más: qué es una potencia y cómo se lee, las potencias de base 10 y la notación científica, cada propiedad por separado con ejemplos resueltos, el lío de los signos y los paréntesis, las raíces, los radicales y sus operaciones, la jerarquía de operaciones y una tanda larga de ejercicios resueltos paso a paso. Todas las cuentas están comprobadas. Si en algún punto te pierdes, para, coge lápiz y papel y rehaz el ejemplo tú mismo: este tema no se aprende leyendo, se aprende escribiendo.

1. Qué es una potencia: base, exponente y cómo se lee

Una potencia es una forma corta de escribir una multiplicación de factores iguales.

Escribir 3 · 3 · 3 · 3 es tedioso. Escribir 3⁴ es lo mismo, pero más rápido:

3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81

En esa expresión hay dos números con nombre propio:

1. La base (el 3) es el número que se repite como factor.
2. El exponente (el 4) indica cuántas veces aparece la base como factor.

Fíjate bien en la definición del exponente: no dice "cuántas veces se multiplica", dice cuántas veces aparece como factor. Es un matiz importante. En 3⁴ hay cuatro treses y tres signos de multiplicar. Si piensas "cuántas veces se multiplica", te sale 3 y te comes un factor.

1.1. Cómo se lee una potencia

• a² se lee "a al cuadrado" (o "a elevado a dos"). El nombre viene de la geometría: el área de un cuadrado de lado a es a·a = a².
• a³ se lee "a al cubo". El volumen de un cubo de arista a es a·a·a = a³.
• a⁴, a⁵, a⁶… se leen "a elevado a cuatro", "a elevado a cinco", etc. También se admite "a a la cuarta", "a a la quinta".
• a¹ = a. Una base que aparece una sola vez como factor es ella misma. El exponente 1 casi nunca se escribe, pero está ahí, y esto será clave en varias propiedades.

1.2. Ejemplos numéricos resueltos

Observa el caso de 1⁹⁹ = 1: por muchas veces que multipliques 1 por sí mismo, sigue siendo 1. Es un resultado tonto, pero cae en los exámenes precisamente porque a alguien le entra la duda.

1.3. El error de confundir base y exponente

Una confusión clásica de 1º de la ESO:

• 2³ = 2·2·2 = 8
• 3² = 3·3 = 9

No son lo mismo. La potencia no es conmutativa: aᵇ ≠ bᵃ en general. (Curiosidad: el único par de naturales distintos donde sí coinciden es 2⁴ = 4² = 16.)

Otra confusión igual de frecuente: 2³ no es 2·3 = 6. Multiplicar la base por el exponente es probablemente el error número uno del tema. Si dudas, desarrolla: escribe los factores uno a uno hasta que el resultado sea evidente. Cuesta cinco segundos y te ahorra un cero.

2. Potencias de base 10 y notación científica

Las potencias de base 10 merecen sección propia porque aparecen en toda la ESO, en Física y Química, en Biología y en cualquier sitio donde haya números muy grandes o muy pequeños.

2.1. La regla de los ceros

Una potencia de 10 con exponente natural es un 1 seguido de tantos ceros como indique el exponente:

Con exponente negativo, el número es menor que 1: 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ. Y el patrón es el mismo del revés: 10⁻³ = 0,001 tiene dos ceros detrás de la coma y el 1 en la tercera posición decimal.

2.2. Qué es la notación científica

Un número está en notación científica cuando se escribe así:

a · 10ⁿ, donde 1 ≤ |a| < 10 y n es un número entero.

Es decir: un número con una sola cifra distinta de cero delante de la coma, multiplicado por una potencia de 10.

Ejemplos correctos:

• La velocidad de la luz ≈ 3 · 10⁸ m/s (300 000 000 m/s).
• La masa de un electrón ≈ 9,1 · 10⁻³¹ kg.
• 45 000 = 4,5 · 10⁴.
• 0,00072 = 7,2 · 10⁻⁴.

Ejemplos incorrectos (no cumplen 1 ≤ a < 10):

• 45 · 10³ → mal, porque 45 ≥ 10. Lo correcto es 4,5 · 10⁴.
• 0,72 · 10⁻³ → mal, porque 0,72 < 1. Lo correcto es 7,2 · 10⁻⁴.

2.3. Cómo pasar a notación científica, paso a paso

Ejemplo A: escribe 328 000 en notación científica.

1. Coloca la coma detrás de la primera cifra: 3,28.
2. Cuenta cuántas posiciones has movido la coma. En 328000 la coma está al final (328000,0) y la has llevado hasta 3,28000: has movido 5 posiciones a la izquierda.
3. Moverla a la izquierda significa exponente positivo: 328 000 = 3,28 · 10⁵.

Comprobación: 3,28 · 100 000 = 328 000. ✓

Ejemplo B: escribe 0,000045 en notación científica.

1. Primera cifra distinta de cero: el 4. Coloca la coma detrás: 4,5.
2. Has movido la coma 5 posiciones a la derecha (0,000045 → 00,00045 → 000,0045 → …→ 4,5).
3. A la derecha significa exponente negativo: 0,000045 = 4,5 · 10⁻⁵.

Comprobación: 4,5 · 0,00001 = 0,000045. ✓

Regla mnemotécnica honesta: si el número es grande (mayor que 10), el exponente es positivo. Si el número es pequeño (menor que 1), el exponente es negativo. No memorices direcciones de coma; mira el tamaño del número y comprueba.

2.4. Operar en notación científica

Aquí ya se usan las propiedades que veremos en las secciones siguientes, pero adelanto un ejemplo porque es muy típico de 3º y 4º:

(3 · 10⁵) · (2 · 10⁻⁸) = (3·2) · 10^(5+(−8)) = 6 · 10⁻³

Se multiplican por un lado los números y por otro las potencias de 10 (sumando exponentes). El resultado, 6 · 10⁻³, ya está bien escrito porque 1 ≤ 6 < 10.

(8 · 10⁴) : (2 · 10⁷) = (8:2) · 10^(4−7) = 4 · 10⁻³

Aquí se restan los exponentes. Si el número de delante se saliera del rango, habría que reajustar: por ejemplo, si sale 0,4 · 10⁻³, se reescribe como 4 · 10⁻⁴.

3. Primera propiedad: producto de potencias de la misma base

a^m · a^n = a^(m+n)

Al multiplicar potencias de la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.

3.1. De dónde sale

No hay magia. Desarrolla:

2³ · 2⁴ = (2·2·2) · (2·2·2·2)

Cuenta los doses: hay 3 + 4 = 7. Por tanto:

2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128

Comprobación numérica: 2³ = 8, 2⁴ = 16, y 8 · 16 = 128 = 2⁷. ✓

Esto es todo. La propiedad no es una regla arbitraria que haya que memorizar: es contar factores.

3.2. Ejemplos resueltos

1. 5² · 5⁵ = 5⁷ (5⁷ = 78 125)
2. x⁴ · x = x⁴ · x¹ = x⁵ (ojo: la x sola tiene exponente 1)
3. 3 · 3³ · 3² = 3^(1+3+2) = 3⁶ = 729
4. a⁷ · a⁻³ = a^(7+(−3)) = a⁴ (funciona igual con exponentes negativos)

3.3. La condición imprescindible: misma base

La propiedad solo vale si la base es la misma. Estas expresiones no se pueden simplificar sumando exponentes:

• 2³ · 5³ ≠ 10⁶. (Lo correcto: 2³·5³ = 8·125 = 1000, y 1000 = 10³, no 10⁶. Aquí se aplica otra propiedad, la del producto elevado a un exponente, que veremos en la sección 6.)
• 2³ · 3⁴ no se simplifica: hay que calcularlo, 8 · 81 = 648.

3.4. Y el error más repetido del tema

2³ + 2⁴ NO es 2⁷.

La propiedad habla de productos, no de sumas. Con una suma no hay atajo: se calcula cada potencia y se suman los resultados.

2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24

(Y 2⁷ = 128, que no se parece en nada.) Si te sirve de red de seguridad: cuando veas un "+" entre potencias, calcula y suma; no toques los exponentes.

4. Segunda propiedad: cociente de potencias de la misma base

a^m : a^n = a^(m−n) (con a ≠ 0)

Al dividir potencias de la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes (el de arriba menos el de abajo).

4.1. De dónde sale

Otra vez, desarrollando:

2⁵ : 2³ = (2·2·2·2·2) / (2·2·2)

Se simplifican tres doses arriba con tres doses abajo y quedan 5 − 3 = 2 doses:

2⁵ : 2³ = 2² = 4

Comprobación: 2⁵ = 32, 2³ = 8, y 32 : 8 = 4 = 2². ✓

Si te resulta útil pensar en fracciones, este es el mismo mecanismo de simplificación que usas al trabajar con operaciones con fracciones: tachar factores iguales arriba y abajo.

4.2. Ejemplos resueltos

1. 7⁸ : 7⁵ = 7³ = 343
2. x⁹ : x⁴ = x⁵
3. 10⁶ : 10² = 10⁴ = 10 000 (comprobación: 1 000 000 : 100 = 10 000 ✓)
4. a³ : a⁷ = a^(3−7) = a⁻⁴ = 1/a⁴ (exponente negativo: sección 8)

4.3. Cuidado con el orden de la resta

La resta no es conmutativa. 2⁵ : 2³ = 2² pero 2³ : 2⁵ = 2⁻² = 1/4. Siempre exponente del numerador menos exponente del denominador. Si el resultado sale negativo, no es un error: significa que el denominador era más grande y el resultado es menor que 1.

5. Tercera propiedad: potencia de una potencia

(a^m)^n = a^(m·n)

Al elevar una potencia a otro exponente, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.

5.1. De dónde sale

(2³)⁴ significa "2³ multiplicado por sí mismo 4 veces":

(2³)⁴ = 2³ · 2³ · 2³ · 2³

Y por la primera propiedad, se suman los exponentes: 3+3+3+3 = 12. Sumar cuatro veces el 3 es lo mismo que multiplicar 3·4. Por eso:

(2³)⁴ = 2¹² = 4096

Comprobación: 2³ = 8, y 8⁴ = 8·8·8·8 = 64·64 = 4096. ✓ Coincide.

5.2. Ejemplos resueltos

1. (5²)³ = 5⁶ = 15 625
2. (x⁴)⁵ = x²⁰
3. ((2²)³)² = (2⁶)² = 2¹² = 4096
4. (a⁻²)³ = a⁻⁶ = 1/a⁶

5.3. Distinguir (a^m)^n de a^(m^n)

Esta es fina, pero conviene tenerla clara porque en 4º de la ESO y en Bachillerato aparece:

• (2³)² = 2^(3·2) = 2⁶ = 64
• 2^(3²) = 2⁹ = 512

No son lo mismo. Cuando hay paréntesis alrededor de la potencia de abajo, se multiplican los exponentes. Cuando la torre de exponentes va sin paréntesis, se resuelve de arriba abajo: primero 3² = 9, y después 2⁹.

5.4. Confundir producto con potencia de potencia

Compara estos dos casos con los mismos números:

• 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128 (producto: se suman)
• (2³)⁴ = 2¹² = 4096 (potencia de potencia: se multiplican)

La diferencia visual es el paréntesis. Si dudas, desarrolla mentalmente: en el producto hay 3+4 doses; en la potencia de potencia hay cuatro grupos de 3 doses.

6. Cuarta y quinta propiedad: potencia de un producto y de un cociente

(a·b)ⁿ = aⁿ · bⁿ

(a:b)ⁿ = aⁿ : bⁿ (con b ≠ 0)

La potencia se reparte entre todos los factores de un producto y entre numerador y denominador de un cociente.

6.1. Potencia de un producto

(2·5)³ = (2·5)·(2·5)·(2·5)

Como la multiplicación es conmutativa, se pueden reordenar los factores: (2·2·2)·(5·5·5) = 2³·5³.

Comprobación: (2·5)³ = 10³ = 1000. Y 2³·5³ = 8·125 = 1000. ✓

Ejemplos:

1. (3x)² = 3²·x² = 9x² (error frecuentísimo: escribir 3x². El 3 también se eleva.)
2. (2ab)³ = 2³·a³·b³ = 8a³b³
3. (−4y)² = (−4)²·y² = 16y²

6.2. Potencia de un cociente

(3/4)² = (3/4)·(3/4) = 9/16 = 3²/4²

Ejemplos:

1. (2/5)³ = 2³/5³ = 8/125
2. (x/3)⁴ = x⁴/81
3. (a/b)⁵ = a⁵/b⁵

6.3. El aviso importante: esto NO funciona con sumas

(a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ

La potencia se reparte entre factores, nunca entre sumandos. Compruébalo con números:

• (3 + 4)² = 7² = 49
• 3² + 4² = 9 + 16 = 25

49 ≠ 25. No es lo mismo ni de lejos. (Lo correcto, si hay que desarrollar, es la identidad notable (a+b)² = a² + 2ab + b², que en este caso da 9 + 24 + 16 = 49. ✓)

Este error tiene además una consecuencia curiosa: es exactamente el motivo por el que en el teorema de Pitágoras la hipotenusa no es la suma de los catetos. Si a² + b² = c², entonces c = √(a²+b²), que no es a + b. Con catetos 3 y 4: c = √(9+16) = √25 = 5, no 7.

7. Exponente cero: por qué a⁰ = 1

a⁰ = 1 para cualquier a ≠ 0

Esta es la propiedad que más desconcierta, porque parece que "multiplicar cero veces" debería dar cero. No es así, y hay una justificación limpia.

7.1. La demostración con el cociente

Toma cualquier potencia dividida por sí misma. Por ejemplo, 5³ : 5³.

• Por un lado, cualquier número dividido por sí mismo da 1: 125 : 125 = 1.
• Por otro lado, aplicando la propiedad del cociente: 5³ : 5³ = 5^(3−3) = 5⁰.

Si las dos cosas son ciertas a la vez, entonces 5⁰ = 1. Y el argumento vale para cualquier base distinta de cero.

7.2. La justificación por el patrón

Mira la sucesión de potencias de 2 hacia abajo. Cada vez que bajas un exponente, divides entre 2:

• 2⁴ = 16
• 2³ = 8
• 2² = 4
• 2¹ = 2
• 2⁰ = 2 : 2 = 1
• 2⁻¹ = 1 : 2 = 1/2
• 2⁻² = (1/2) : 2 = 1/4

El patrón continúa sin saltos y desemboca de forma natural en 1 y luego en los exponentes negativos. No es un convenio arbitrario: es la única definición que mantiene coherente todo el sistema.

7.3. El caso 0⁰

0⁰ está indefinido (en el nivel de la ESO se dice simplemente que "no está definido" o "es una indeterminación"). No lo escribas como 1 en un examen sin más. Todas las propiedades con exponente 0 o negativo exigen base distinta de cero.

7.4. Ejemplos

1. 7⁰ = 1
2. (−123)⁰ = 1 (la base es −123, distinta de 0)
3. (3x²y)⁰ = 1 (siempre que 3x²y ≠ 0)
4. −5⁰ = −1 ⚠️ Aquí no hay paréntesis: se eleva solo el 5, y el signo menos queda fuera. 5⁰ = 1, y con el menos delante, −1.

8. Exponente negativo: el inverso

a⁻ⁿ = 1/aⁿ (con a ≠ 0)

Una potencia de exponente negativo es igual al inverso de la potencia con exponente positivo.

8.1. De dónde sale

Aplica el cociente con el exponente de arriba más pequeño:

2³ : 2⁵ = 2^(3−5) = 2⁻²

Pero calculándolo directamente: 8 : 32 = 8/32 = 1/4.

Y 1/2² = 1/4. Por tanto 2⁻² = 1/2² = 1/4. ✓

8.2. Lo que un exponente negativo NO significa

Un exponente negativo no hace que el resultado sea negativo. 2⁻³ = 1/8, que es positivo. El signo del resultado lo decide la base, no el exponente:

• 2⁻³ = 1/8 (positivo)
• (−2)⁻³ = 1/(−2)³ = 1/(−8) = −1/8 (negativo, porque la base es negativa y el exponente impar)

8.3. La regla práctica de "darle la vuelta a la fracción"

De a⁻ⁿ = 1/aⁿ se deduce una consecuencia muy cómoda:

(a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ

Es decir: un exponente negativo se convierte en positivo dando la vuelta a la fracción.

Ejemplos:

1. (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4
2. (1/5)⁻³ = 5³ = 125
3. 3⁻² = (3/1)⁻² = (1/3)² = 1/9

Comprobación del primero: (2/3)⁻² = 1/(2/3)² = 1/(4/9) = 9/4. ✓

8.4. Ejemplos resueltos con exponentes negativos

1. 5⁻² = 1/5² = 1/25
2. x⁻⁴ = 1/x⁴
3. 2⁻³ · 2⁵ = 2^(−3+5) = 2² = 4
4. (a⁻²)⁻³ = a^((−2)·(−3)) = a⁶ (menos por menos, más)
5. 10⁻² = 1/100 = 0,01

9. Potencias de números negativos: el papel del paréntesis

Aquí se juegan muchos puntos en los exámenes, y casi siempre por lo mismo: dónde está el paréntesis.

9.1. La regla de los signos

Cuando la base es negativa y está entre paréntesis:

• Exponente par → resultado positivo. (−2)⁴ = (−2)(−2)(−2)(−2) = 16. Los signos se emparejan y todos los menos se cancelan de dos en dos.
• Exponente impar → resultado negativo. (−2)³ = (−2)(−2)(−2) = −8. Sobra un menos sin pareja.

Tabla resumen:

9.2. (−2)² frente a −2²

No son lo mismo.

• (−2)² = (−2)·(−2) = +4. El paréntesis indica que toda la expresión −2 es la base.
• −2² = −(2·2) = −4. Sin paréntesis, la potencia afecta solo al 2; el signo menos se aplica después, al resultado.

Esto no es una convención caprichosa: es la jerarquía de operaciones. Las potencias se calculan antes que el cambio de signo (que es, en el fondo, una multiplicación por −1). Así, −2² = (−1)·2² = (−1)·4 = −4.

Más ejemplos del mismo tipo:

1. (−5)² = 25 frente a −5² = −25
2. (−3)⁴ = 81 frente a −3⁴ = −81
3. (−1)¹⁰⁰ = 1 (exponente par) frente a (−1)¹⁰¹ = −1 (impar)
4. (−2)³ = −8 y −2³ = −8 → aquí sí coinciden, porque el exponente es impar y el resultado es negativo en ambos casos. Cuidado: que coincidan a veces no significa que sean lo mismo.

9.3. Cómo no equivocarte

Cuando escribas tú la base negativa, pon siempre el paréntesis. Si tienes que calcular (−4)², escríbelo como (−4)·(−4) antes de dar el resultado. Y cuando el enunciado te dé −4² sin paréntesis, léelo en voz alta como "menos, cuatro al cuadrado": el "menos" va suelto, delante.

10. Resumen de las propiedades en una tabla

Aquí tienes todas las propiedades de las potencias juntas. Esta tabla es la que conviene tener a mano mientras haces ejercicios (y la que conviene poder reconstruir sin mirar antes del examen).

Tres avisos que deben ir siempre pegados a esta tabla:

1. Las dos primeras propiedades exigen la misma base. Sin misma base, no hay atajo.
2. No existe ninguna propiedad para la suma de potencias. a^m + a^n no se simplifica.
3. (a+b)ⁿ no es aⁿ + bⁿ.

11. Qué es una raíz: radicando, índice y raíz n-ésima

Una raíz es la operación inversa de una potencia. Si elevar es "tengo la base y el exponente, quiero el resultado", la raíz es "tengo el resultado y el exponente, quiero la base".

11.1. La raíz cuadrada

√a = b significa que b² = a (y, por convenio, b ≥ 0).

√49 = 7 porque 7² = 49. √81 = 9 porque 9² = 81.

Sobre el signo: es verdad que 7² = 49 y también (−7)² = 49. Pero el símbolo √ designa por convenio solo la raíz positiva (la llamada raíz principal). Por eso √49 = 7, no ±7.

El ± aparece cuando resuelves una ecuación: si x² = 49, entonces x = ±7, porque ahí buscas todos los números cuyo cuadrado es 49. La distinción es sutil pero importante y la verás en cuanto llegues a las ecuaciones de segundo grado.

11.2. Partes de una raíz

En ⁿ√a:

• n es el índice: dice qué tipo de raíz es (2 = cuadrada, 3 = cúbica, 4 = cuarta…). Si no se escribe, se sobreentiende índice 2.
• a es el radicando: el número que está dentro.
• El símbolo √ se llama signo radical. Al conjunto se le llama radical.

11.3. La raíz n-ésima

ⁿ√a = b significa que bⁿ = a.

Ejemplos:

1. ³√27 = 3 porque 3³ = 27.
2. ³√125 = 5 porque 5³ = 125.
3. ⁴√16 = 2 porque 2⁴ = 16.
4. ⁵√32 = 2 porque 2⁵ = 32.
5. ³√(−8) = −2 porque (−2)³ = −8.

11.4. Cuándo existe la raíz y cuándo no

• Con índice impar, la raíz existe siempre, tanto para radicandos positivos como negativos. ³√(−27) = −3.
• Con índice par, el radicando debe ser positivo o cero. √(−9) no existe en los números reales, porque ningún número real elevado al cuadrado da un resultado negativo (positivo por positivo, positivo; negativo por negativo, también positivo).

Esta asimetría se explica sola con la regla de los signos de la sección 9.

11.5. Raíces exactas e inexactas

• Raíz exacta: el resultado es un número entero. √36 = 6, ³√64 = 4.
• Raíz inexacta: el resultado no es entero. √2 ≈ 1,4142…, √10 ≈ 3,1623…

Las raíces inexactas de números naturales que no son cuadrados perfectos son números irracionales: tienen infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente. Por eso en matemáticas se suele dejar el resultado como radical (√2) en vez de escribir un decimal aproximado: √2 es un valor exacto, 1,41 no lo es.

11.6. Los cuadrados perfectos que hay que saberse

Saberse esta tabla de memoria ahorra muchísimo tiempo:

Y los cubos más usados: 1³=1, 2³=8, 3³=27, 4³=64, 5³=125, 6³=216, 7³=343, 8³=512, 9³=729, 10³=1000.

12. La clave del tema: la raíz es una potencia de exponente fraccionario

Esta sección es la más importante del artículo, porque unifica las dos mitades del tema.

ⁿ√a = a^(1/n)

Y en general: ⁿ√(a^m) = a^(m/n)

12.1. Por qué es así

Queremos que las propiedades de las potencias sigan valiendo. Supongamos que √a se puede escribir como a^x para algún exponente x. Entonces:

(a^x)² = a^(2x)

Pero por definición, (√a)² = a = a¹. Igualando exponentes: 2x = 1, luego x = 1/2.

Es decir: √a = a^(1/2) no es un capricho, es la única definición posible si queremos que las reglas de las potencias sigan funcionando.

12.2. Ejemplos de conversión

12.3. Qué ganamos con esto

Que no hay que aprenderse propiedades nuevas para los radicales. Todas salen de las que ya sabes:

Producto de radicales del mismo índice: ⁿ√a · ⁿ√b = a^(1/n) · b^(1/n) = (a·b)^(1/n) = ⁿ√(a·b)

Ejemplo: √4 · √9 = √36 = 6. Y por separado: 2 · 3 = 6. ✓

Cociente de radicales del mismo índice: ⁿ√a : ⁿ√b = ⁿ√(a/b)

Ejemplo: √50 : √2 = √25 = 5. ✓ (Comprobación aproximada: 7,071 : 1,414 ≈ 5 ✓)

Raíz de una raíz: ᵐ√(ⁿ√a) = (a^(1/n))^(1/m) = a^(1/(m·n)) = ^(m·n)√a

Ejemplo: √(³√64) = ⁶√64 = 2, porque 2⁶ = 64. ✓ (Comprobación directa: ³√64 = 4, y √4 = 2 ✓)

Potencia de un radical: (ⁿ√a)^m = a^(m/n) = ⁿ√(a^m)

Ejemplo: (³√8)² = 2² = 4. Y ³√(8²) = ³√64 = 4. ✓

12.4. Simplificar índices

Como los exponentes fraccionarios se pueden simplificar, los índices también:

⁶√(a⁴) = a^(4/6) = a^(2/3) = ³√(a²)

⁴√9 = 9^(1/4) = (3²)^(1/4) = 3^(2/4) = 3^(1/2) = √3

Comprobación numérica: ⁴√9 ≈ 1,732 y √3 ≈ 1,732. ✓

12.5. Cuidado con lo que NO se puede repartir

Igual que (a+b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ, aquí:

√(a + b) ≠ √a + √b

Contraejemplo: √(9 + 16) = √25 = 5. Pero √9 + √16 = 3 + 4 = 7. 5 ≠ 7.

La raíz se reparte entre productos y cocientes, jamás entre sumas y restas.

13. Operaciones con radicales

13.1. Extraer factores de un radical (simplificar)

Simplificar un radical consiste en sacar fuera todos los factores que se pueda. El procedimiento es siempre el mismo:

1. Descompón el radicando en factores primos.
2. Agrupa los factores en bloques del tamaño del índice.
3. Cada bloque completo sale fuera convertido en un solo factor; lo que sobra se queda dentro.

Ejemplo 1: simplifica √72.

1. 72 = 2³ · 3² (comprobación: 8 · 9 = 72 ✓)
2. Índice 2 → bloques de dos. Del 2³ sale un bloque de dos y sobra un 2. Del 3² sale un bloque completo.
3. √72 = √(2² · 2 · 3²) = 2 · 3 · √2 = 6√2

Comprobación decimal: √72 ≈ 8,485 y 6·1,4142 ≈ 8,485. ✓

Ejemplo 2: simplifica √300.

1. 300 = 2² · 3 · 5² (comprobación: 4 · 3 · 25 = 300 ✓)
2. Salen el 2 y el 5; el 3 se queda dentro.
3. √300 = 10√3

Comprobación: √300 ≈ 17,32 y 10·1,732 = 17,32. ✓

Ejemplo 3: simplifica ³√54.

1. 54 = 2 · 3³ (comprobación: 2 · 27 = 54 ✓)
2. Índice 3 → bloques de tres. El 3³ sale entero; el 2 se queda.
3. ³√54 = 3·³√2

Comprobación: ³√54 ≈ 3,780 y 3·³√2 ≈ 3·1,2599 ≈ 3,780. ✓

Ejemplo 4: simplifica √(48a⁵).

1. 48 = 2⁴ · 3. Y a⁵ = a⁴ · a.
2. √(2⁴ · 3 · a⁴ · a) = 2² · a² · √(3a) = 4a²√(3a) (suponiendo a ≥ 0)

13.2. Introducir factores dentro del radical

Es la operación inversa. Un factor que está fuera entra elevado al índice:

3√2 = √(3² · 2) = √18

Comprobación: 3 · 1,4142 ≈ 4,243, y √18 ≈ 4,243. ✓

2·³√5 = ³√(2³ · 5) = ³√40

Esto es útil para comparar radicales: ¿qué es mayor, 3√2 o 2√5? Metemos todo dentro: 3√2 = √18 y 2√5 = √20. Como 20 > 18, 2√5 es mayor.

13.3. Sumar y restar radicales semejantes

Solo se pueden sumar radicales que tengan el mismo índice y el mismo radicando. Se llaman radicales semejantes y se suman como si fueran términos con la misma letra en álgebra: se suman los coeficientes y se deja el radical.

Ejemplo: 5√3 + 2√3 = 7√3

Igual que 5x + 2x = 7x.

Lo que NO se puede hacer: √2 + √3 no es √5. (√2 ≈ 1,414, √3 ≈ 1,732, suma ≈ 3,146; mientras que √5 ≈ 2,236. No coinciden.) Esa suma se queda tal cual.

El truco de los ejercicios: simplificar primero. Muchos radicales que parecen distintos son semejantes en cuanto los simplificas.

Ejemplo resuelto: calcula √8 + √18 − √50.

1. Simplifica cada uno:
   • √8 = √(2²·2) = 2√2
   • √18 = √(3²·2) = 3√2
   • √50 = √(5²·2) = 5√2
2. Ahora todos son semejantes (radicando 2): 2√2 + 3√2 − 5√2 = (2 + 3 − 5)√2 = 0√2 = 0

Comprobación decimal: 2,828 + 4,243 − 7,071 = 0,000. ✓ Da exactamente cero.

Otro ejemplo: calcula √27 + √12.

• √27 = √(3²·3) = 3√3
• √12 = √(2²·3) = 2√3
• Suma: 3√3 + 2√3 = 5√3

Comprobación: 5,196 + 3,464 = 8,660, y 5·1,732 = 8,660. ✓

13.4. Multiplicar y dividir radicales

Con el mismo índice, es directo:

1. √3 · √12 = √36 = 6
2. √2 · √8 = √16 = 4
3. ³√4 · ³√16 = ³√64 = 4
4. √20 : √5 = √4 = 2
5. (2√3) · (5√2) = 10√6 (se multiplican por un lado los coeficientes y por otro los radicandos)

Con distinto índice, hay que igualarlos pasando a exponentes fraccionarios y usando el mínimo común múltiplo:

√2 · ³√2 = 2^(1/2) · 2^(1/3) = 2^(1/2 + 1/3) = 2^(3/6 + 2/6) = 2^(5/6) = ⁶√(2⁵) = ⁶√32

Comprobación: 1,4142 · 1,2599 ≈ 1,7818. Y ⁶√32 = 32^(1/6) ≈ 1,7818. ✓

13.5. Racionalizar denominadores (nivel básico)

Racionalizar es quitar la raíz del denominador de una fracción. Se hace multiplicando arriba y abajo por el mismo radical (lo que no cambia el valor de la fracción, porque equivale a multiplicar por 1).

Caso 1: denominador con una raíz cuadrada simple.

1/√2 = (1·√2) / (√2·√2) = √2 / 2

Comprobación: 1/1,4142 ≈ 0,7071, y 1,4142/2 = 0,7071. ✓

Más ejemplos:

• 3/√5 = 3√5/5
• 6/√3 = 6√3/3 = 2√3 (se puede simplificar: 6/3 = 2)

Comprobación del último: 6/1,732 ≈ 3,464, y 2·1,732 = 3,464. ✓

Caso 2: denominador con suma o resta de raíces (conjugado).

Se multiplica por el conjugado (la misma expresión cambiando el signo de en medio), aprovechando que (a+b)(a−b) = a² − b².

1/(√3 − 1) = (√3 + 1) / [(√3 − 1)(√3 + 1)] = (√3 + 1) / (3 − 1) = (√3 + 1)/2

Comprobación: 1/(1,732 − 1) = 1/0,732 ≈ 1,366. Y (1,732+1)/2 = 2,732/2 = 1,366. ✓

14. Jerarquía de operaciones con potencias y raíces

Cuando en una expresión hay de todo, el orden es innegociable:

1. Paréntesis (de dentro hacia fuera).
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha).
4. Sumas y restas (de izquierda a derecha).

14.1. Ejemplos resueltos con la jerarquía

Ejemplo A: calcula 3 + 2 · 5²

1. Potencia: 5² = 25 → 3 + 2·25
2. Multiplicación: 2·25 = 50 → 3 + 50
3. Suma: 53

(Si alguien hace 3+2 = 5 primero, obtiene 5·25 = 125, que está mal.)

Ejemplo B: calcula (3 + 2)² · 2 − √49

1. Paréntesis: 3+2 = 5 → 5² · 2 − √49
2. Potencia y raíz: 25 · 2 − 7
3. Multiplicación: 50 − 7
4. Resta: 43

Ejemplo C: calcula 2³ + 3 · (5 − 2)² − √(16 + 9)

1. Paréntesis: 5−2 = 3 y 16+9 = 25 → 2³ + 3·3² − √25
2. Potencias y raíces: 8 + 3·9 − 5
3. Multiplicación: 8 + 27 − 5
4. Sumas y restas de izquierda a derecha: 35 − 5 = 30

Ejemplo D: calcula −4² + (−4)² − ³√(−8)

1. Potencias: −4² = −16; (−4)² = +16; ³√(−8) = −2
2. Sustituye: −16 + 16 − (−2)
3. Resta de un negativo = suma: −16 + 16 + 2 = 2

15. Diez ejercicios resueltos paso a paso

Estos son del tipo que caen en un examen de 2º o 3º de la ESO. Intenta hacerlos tú antes de leer la solución: leer una solución da una sensación de comprensión que no siempre es real.

Ejercicio 1

Simplifica: (2³ · 2⁵) : 2⁴

1. Numerador (producto, misma base): 2³·2⁵ = 2^(3+5) = 2⁸
2. Cociente: 2⁸ : 2⁴ = 2^(8−4) = 2⁴ = 16

Comprobación: (8 · 32) : 16 = 256 : 16 = 16. ✓

Ejercicio 2

Simplifica: (x³)⁴ · x⁻⁵

1. Potencia de potencia: (x³)⁴ = x¹²
2. Producto: x¹² · x⁻⁵ = x^(12−5) = x⁷

Ejercicio 3

Calcula: (3⁻² · 3⁵) : 3²

1. Producto: 3^(−2+5) = 3³
2. Cociente: 3^(3−2) = 3¹ = 3

Comprobación: 3⁻² = 1/9; (1/9)·243 = 27; 27:9 = 3. ✓

Ejercicio 4

Escribe como una sola potencia: (2² · 4³) : 8

Truco: todas las bases son potencias de 2.

1. 4 = 2², luego 4³ = (2²)³ = 2⁶
2. 8 = 2³
3. Sustituye: (2² · 2⁶) : 2³ = 2⁸ : 2³ = 2⁵ = 32

Comprobación: (4 · 64) : 8 = 256 : 8 = 32. ✓

Ejercicio 5

Calcula: (−2)³ + (−3)² − (−1)⁵

1. (−2)³ = −8 (impar → negativo)
2. (−3)² = 9 (par → positivo)
3. (−1)⁵ = −1 (impar → negativo)
4. −8 + 9 − (−1) = −8 + 9 + 1 = 2

Ejercicio 6

Expresa en notación científica y opera: (4 · 10⁶) · (2,5 · 10⁻³)

1. Coeficientes: 4 · 2,5 = 10
2. Potencias: 10⁶ · 10⁻³ = 10³
3. Resultado provisional: 10 · 10³ = 10⁴
4. Como el coeficiente debe cumplir 1 ≤ a < 10, se ajusta: 1 · 10⁴ = 10⁴ (es decir, 10 000)

Ejercicio 7

Simplifica: √50 + √32 − √18

1. √50 = √(5²·2) = 5√2
2. √32 = √(4²·2) = 4√2 (porque 32 = 16·2)
3. √18 = √(3²·2) = 3√2
4. 5√2 + 4√2 − 3√2 = (5+4−3)√2 = 6√2

Comprobación: 7,071 + 5,657 − 4,243 = 8,485. Y 6·1,4142 = 8,485. ✓

Ejercicio 8

Calcula: (√5)⁴

Dos caminos, mismo resultado:

• Con exponentes fraccionarios: (5^(1/2))⁴ = 5^(4/2) = 5² = 25
• Por pasos: (√5)⁴ = ((√5)²)² = 5² = 25

Ejercicio 9

Racionaliza y simplifica: 10/√5

1. Multiplica arriba y abajo por √5: (10·√5)/(√5·√5) = 10√5/5
2. Simplifica el 10 con el 5: 2√5

Comprobación: 10/2,236 ≈ 4,472, y 2·2,236 = 4,472. ✓

Ejercicio 10

Simplifica la expresión: [(a² · a⁻⁵)³] : a⁻⁴

1. Dentro del corchete, producto: a^(2−5) = a⁻³
2. Potencia de potencia: (a⁻³)³ = a⁻⁹
3. Cociente: a^(−9 − (−4)) = a^(−9+4) = a⁻⁵ = 1/a⁵

Ejercicio 11 (extra)

Calcula: 2⁻¹ + 3⁻¹

⚠️ Aquí no hay ninguna propiedad que aplicar: es una suma. Hay que calcular cada potencia y sumar las fracciones.

1. 2⁻¹ = 1/2; 3⁻¹ = 1/3
2. Común denominador 6: 3/6 + 2/6 = 5/6

(El error frecuente sería escribir 5⁻¹ = 1/5, que es falso: 1/5 = 0,2 y 5/6 ≈ 0,833.)

Ejercicio 12 (extra)

Simplifica: ⁴√(16x⁸)

1. 16 = 2⁴, así que ⁴√16 = 2
2. ⁴√(x⁸) = x^(8/4) = x²
3. Resultado: 2x² (para x ≥ 0)

Comprobación: si x = 1, ⁴√16 = 2 y 2·1² = 2 ✓. Si x = 2: ⁴√(16·256) = ⁴√4096 = 8, y 2·2² = 8 ✓.

16. Los siete errores típicos (y cómo evitarlos)

1. Multiplicar la base por el exponente. 2³ ≠ 6. Antídoto: desarrolla la multiplicación completa las primeras veces.
2. Sumar exponentes al sumar potencias. 2³ + 2⁴ ≠ 2⁷; son 24. Antídoto: las propiedades hablan de productos y cocientes, nunca de sumas.
3. Multiplicar exponentes al multiplicar potencias. 2³·2⁴ = 2⁷, no 2¹². Antídoto: los exponentes se multiplican solo cuando hay una potencia de potencia, es decir, cuando hay paréntesis.
4. Olvidar el paréntesis en las bases negativas. −3² = −9 pero (−3)² = 9. Antídoto: escribe siempre el paréntesis cuando la base sea negativa.
5. Pensar que el exponente negativo hace negativo el resultado. 2⁻² = 1/4, positivo. Antídoto: el signo lo pone la base, no el exponente.
6. Repartir la potencia o la raíz entre sumandos. (a+b)² ≠ a²+b²; √(a+b) ≠ √a + √b. Antídoto: comprueba con números pequeños; (3+4)² = 49 frente a 9+16 = 25.
7. Sumar radicales no semejantes. √2 + √3 ≠ √5. Antídoto: simplifica primero cada radical; si tras simplificar los radicandos siguen siendo distintos, la suma se queda indicada.

Si te reconoces en tres o más de estos, el problema casi nunca es de capacidad: es que estás aplicando reglas memorizadas sin la comprobación de desarrollar. Volver a los primeros principios (una potencia es una multiplicación repetida) resuelve seis de los siete.

17. Cómo estudiar este tema para que se quede

Las potencias son un tema de práctica corta y frecuente, no de empollar tres horas la víspera. Una rutina que funciona:

1. Reconstruye las propiedades, no las memorices. Antes de cada sesión de ejercicios, escribe las siete propiedades de memoria en una hoja y comprueba cada una con un ejemplo numérico pequeño (base 2, exponentes 2 y 3). Cinco minutos.
2. Haz cinco ejercicios al día, no treinta el domingo. El tema entra por repetición espaciada.
3. Comprueba siempre con números. Si dudas de si una regla se aplica, prueba con 2 y 3. Los números pequeños delatan cualquier regla falsa en dos segundos.
4. Trabaja los signos aparte. Dedica un bloque solo a (−2)⁴ frente a −2⁴ hasta que no dudes.
5. Vuelve a los cuadrados perfectos. Sabérselos hasta el 20 acelera muchísimo la simplificación de radicales.

Si te ha costado en clase seguir el ritmo, este es de los temas donde ayuda tener a alguien que te haga preguntas en vez de darte la respuesta. En Profe 24/7 el tutor está disponible 24/7 y guía con pistas: nunca da la solución hecha, precisamente porque en potencias la respuesta final no enseña nada; lo que enseña es darse cuenta de por qué se suman los exponentes y no se multiplican. Todo el contenido sigue el temario LOMLOE, así que lo que practicas es exactamente lo que te van a preguntar.

Y si el problema de fondo es más amplio que este tema, merece la pena leer nuestra guía sobre cómo aprobar matemáticas, que va al método de estudio y no solo al contenido.

18. Dónde encaja este tema en cada curso de la ESO

Las potencias no se estudian una vez: vuelven cada año con una capa más.

• 1º de la ESO. Potencias de exponente natural, cuadrados y cubos, potencias de base 10, raíz cuadrada exacta y primeras propiedades (producto y cociente de la misma base). Si esto está flojo, todo lo demás se complica; hay refuerzo específico en Matemáticas de 1º de la ESO.
• 2º de la ESO. Se consolidan todas las propiedades, entran el exponente 0 y el negativo, la notación científica y las potencias de números negativos con el asunto de los paréntesis. Es el curso donde el tema se cierra en lo esencial: puedes reforzarlo en Matemáticas de 2º de la ESO.
• 3º de la ESO. Aparecen los radicales en serio: raíz n-ésima, exponentes fraccionarios, simplificación, operaciones y racionalización básica. También se usan las potencias en polinomios y en notación científica aplicada a Física y Química. El apoyo está en Matemáticas de 3º de la ESO.
• 4º de la ESO. Radicales con más soltura, racionalización de denominadores con conjugado, potencias en ecuaciones y funciones exponenciales.

Preguntas frecuentes

¿Qué son la base y el exponente de una potencia?

En una potencia como 4³, la base es el 4 (el número que se repite como factor) y el exponente es el 3 (cuántas veces aparece la base como factor). Así, 4³ = 4·4·4 = 64. El exponente no indica por cuánto se multiplica la base: 4³ no es 4·3 = 12. Se lee "cuatro elevado a tres" o "cuatro al cubo". Cuando el exponente es 2 se dice "al cuadrado" y cuando es 3, "al cubo", por la relación con el área del cuadrado y el volumen del cubo.

¿Cuáles son las propiedades de las potencias?

Son siete, y todas exigen alguna condición: producto de la misma base, a^m·a^n = a^(m+n); cociente de la misma base, a^m:a^n = a^(m−n); potencia de una potencia, (a^m)^n = a^(m·n); potencia de un producto, (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ; potencia de un cociente, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ; exponente cero, a⁰ = 1 con a ≠ 0; y exponente negativo, a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Las dos primeras solo funcionan si las bases coinciden, y no existe ninguna propiedad para sumar potencias.

¿Por qué cualquier número elevado a 0 es 1?

Porque es la única definición coherente con el resto de reglas. Toma 5³ : 5³. Por un lado, un número dividido por sí mismo es 1. Por otro, la propiedad del cociente da 5^(3−3) = 5⁰. Si ambas cosas son ciertas, 5⁰ = 1. También se ve en el patrón: 2³=8, 2²=4, 2¹=2, y cada paso divide entre 2, así que el siguiente es 2:2 = 1 = 2⁰. La única excepción es 0⁰, que está indefinido.

¿Qué significa un exponente negativo?

Que hay que tomar el inverso: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, con a ≠ 0. Por ejemplo, 3⁻² = 1/3² = 1/9. Un exponente negativo no convierte el resultado en negativo: 3⁻² = 1/9 es positivo. El signo del resultado lo decide la base. Con fracciones hay un atajo muy útil: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ, es decir, el exponente negativo se vuelve positivo dando la vuelta a la fracción. Así, (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4.

¿Cuál es la diferencia entre (−2)² y −2²?

Que en el primer caso la base es −2 y en el segundo es solo el 2. (−2)² = (−2)·(−2) = 4, positivo, porque el paréntesis incluye el signo dentro de la base. −2² = −(2·2) = −4, negativo, porque sin paréntesis la potencia afecta solo al 2 y el signo menos se aplica al resultado final. Es una consecuencia de la jerarquía de operaciones: las potencias se calculan antes que el cambio de signo. Cuando escribas tú una base negativa, ponle siempre paréntesis.

¿Cómo se pasa un número a notación científica?

Se escribe como a · 10ⁿ con 1 ≤ |a| < 10. Coloca la coma detrás de la primera cifra distinta de cero y cuenta cuántas posiciones la has movido: ese número es el exponente. Si el número original es grande (mayor que 10), el exponente es positivo; si es pequeño (menor que 1), es negativo. Ejemplos: 328 000 = 3,28 · 10⁵ y 0,000045 = 4,5 · 10⁻⁵. Comprueba siempre deshaciendo la operación: 3,28 · 100 000 = 328 000. ✓

¿Es lo mismo una raíz que una potencia?

Sí: una raíz es una potencia de exponente fraccionario. En concreto, ⁿ√a = a^(1/n), y en general ⁿ√(a^m) = a^(m/n). Por ejemplo, √9 = 9^(1/2) = 3 y ³√8 = 8^(1/3) = 2. Esto es muy útil porque significa que no hay propiedades nuevas que aprender para los radicales: las de las potencias sirven todas. De ahí salen ⁿ√a·ⁿ√b = ⁿ√(a·b), la raíz de una raíz (ᵐ√(ⁿ√a) = ^(m·n)√a) y la simplificación de índices.

¿Se pueden sumar dos raíces cuadradas?

Solo si son radicales semejantes, es decir, si tienen el mismo índice y el mismo radicando. 5√3 + 2√3 = 7√3, igual que 5x + 2x = 7x. Pero √2 + √3 no es √5 (1,414 + 1,732 ≈ 3,146, mientras que √5 ≈ 2,236). El truco de los ejercicios es simplificar primero: √8 + √18 parecen distintos, pero √8 = 2√2 y √18 = 3√2, así que la suma es 5√2.

¿Por qué √(−9) no existe pero ³√(−8) sí?

Por la regla de los signos. Con índice par, el resultado tendría que ser un número que, elevado al cuadrado, diera un negativo, y eso es imposible entre los números reales: positivo por positivo da positivo, y negativo por negativo también. Por eso √(−9) no existe en los reales. Con índice impar sí es posible, porque un número negativo elevado a exponente impar sigue siendo negativo: ³√(−8) = −2 porque (−2)³ = −8.

¿Cómo se simplifica una raíz como √72?

Descomponiendo el radicando en factores primos y sacando fuera los bloques del tamaño del índice. Para √72: 72 = 2³·3² = 2²·2·3². Con índice 2, el 2² sale como un 2 y el 3² sale como un 3; dentro se queda el 2 suelto. Resultado: √72 = 2·3·√2 = 6√2. Comprobación: √72 ≈ 8,485 y 6·1,4142 ≈ 8,485. ✓ El mismo método vale para cualquier índice: en ³√54 = ³√(2·3³) sale el 3 y queda 3·³√2.

Conclusión

Las potencias y raíces parecen un bloque de reglas sueltas y son en realidad una sola idea repetida. Una potencia abrevia una multiplicación; por eso al multiplicar potencias de la misma base los factores se acumulan y los exponentes se suman, al dividir se cancelan y se restan, y al elevar una potencia a otra se forman grupos y se multiplican. De ahí salen sin esfuerzo el exponente 0 (porque a^n : a^n vale 1) y el exponente negativo (porque el cociente al revés da el inverso). Y las raíces no son un capítulo aparte: ⁿ√a = a^(1/n), así que todas las propiedades que ya sabías siguen valiendo tal cual.

Los dos avisos que más puntos salvan en un examen: no hay ninguna propiedad para sumar potencias (2³ + 2⁴ = 24, no 2⁷) y el paréntesis en las bases negativas cambia el resultado ((−2)² = 4 pero −2² = −4). Si además compruebas cada regla dudosa con números pequeños antes de aplicarla, la mayoría de los errores desaparece sin necesidad de estudiar más.

Ahora toca practicar. Coge diez ejercicios, hazlos con lápiz y papel desarrollando los pasos, y comprueba cada resultado. Y si te atascas en alguno, prueba a estudiar con Profe 24/7 gratis: te va guiando con pistas hasta que resuelves tú el ejercicio, con el temario del temario LOMLOE y a la hora que te venga bien.