Media, mediana y moda: estadística de la ESO explicada con ejemplos

TL;DR

• La media aritmética se calcula sumando todos los datos y dividiendo entre cuántos son. Con 5, 7, 6, 8, 9 la suma es 35 y la media es 35/5 = 7.
• La mediana es el valor que queda justo en el centro cuando ordenas los datos de menor a mayor. Si hay un número impar de datos es el del medio; si es par, la media de los dos centrales.
• La moda es el valor que más se repite. Puede haber una (unimodal), dos (bimodal) o ninguna, y es la única medida que también funciona con datos cualitativos (colores, deportes, marcas).
• Las tablas de frecuencias organizan los datos en cuatro columnas: frecuencia absoluta (f), relativa (h), absoluta acumulada (F) y relativa acumulada (H). La suma de las relativas siempre da 1 (o 100%).
• La media engaña cuando hay valores atípicos: en una empresa donde 8 personas cobran 1.200 € y el dueño 20.000 €, la media es 3.160 € pero la mediana es 1.200 €. La mediana describe mejor la realidad.
• El rango (máximo menos mínimo) y la desviación típica miden lo dispersos que están los datos. Dos grupos pueden tener la misma media y ser completamente distintos: uno concentrado (σ pequeña) y otro disperso (σ grande).

La estadística es, probablemente, el bloque de matemáticas de la ESO que más vas a usar fuera de clase. No exagero: la vas a encontrar en el parte médico que te dan en el ambulatorio, en las noticias del telediario, en la tabla de la Liga, en las encuestas electorales, en el informe de notas del instituto y en el resumen de tu aplicación de deporte. Y sin embargo, es también uno de los bloques que peor se estudia, porque parece "fácil" hasta que llega el examen y aparecen las tablas de frecuencias acumuladas, la media ponderada y la dichosa desviación típica.

En esta guía vamos a construir todo el tema desde cero, con calma y con las cuentas hechas al detalle. Empezaremos entendiendo para qué sirve la estadística y qué vocabulario necesitas (población, muestra, variable). Después aprenderás a montar una tabla de frecuencias completa paso a paso, a calcular media, mediana y moda en todos los casos posibles (con datos sueltos, con tabla, con datos agrupados, con pesos) y a decidir cuál de las tres describe mejor una situación concreta. Terminaremos con la dispersión (rango y desviación típica), los gráficos, catorce ejercicios resueltos progresivos, los errores que más se repiten en los exámenes y un plan de estudio de cinco días.

Todas las operaciones están escritas en texto plano y comprobadas una a una. Si te atascas en alguna, no pases de página: relee el paso anterior y hazlo tú con papel antes de seguir. La estadística premia mucho la constancia y castiga poco el talento; es de los temas más "aprobables" que hay.

Para qué sirve la estadística (y por qué te la enseñan en la ESO)

La estadística es la parte de las matemáticas que se ocupa de recoger datos, organizarlos, resumirlos e interpretarlos. Su objetivo es convertir un montón de números sueltos, que no dicen nada por sí mismos, en una o dos cifras que sí cuentan una historia.

Piensa en un ejemplo cotidiano. Tu profesora de Matemáticas corrige veinticinco exámenes. Tiene delante veinticinco notas. ¿Qué hace con eso? No puede ir alumno por alumno cada vez que quiere saber cómo ha ido el examen. Necesita resumir: "la nota media ha sido un 6,4", "la mitad de la clase ha sacado un 6 o menos", "la nota que más se ha repetido es el 7". Con tres números ya se hace una idea completa de lo que ha pasado, y puede compararlo con el examen anterior o con el otro grupo.

Eso es exactamente la estadística descriptiva de la ESO: resumir un conjunto de datos con pocos números que lo representen bien.

Tres situaciones reales donde ya la usas

Las notas del instituto. Cuando te dan el boletín, la nota de cada asignatura casi nunca es una media simple de tus exámenes: suele ser una media ponderada en la que los exámenes pesan más que los trabajos y estos más que el cuaderno. Y la nota media del curso, la que aparece en tu expediente y la que cuenta para la EvAU o para un ciclo, es otra media más. Si te interesa afinar ese cálculo, tenemos una guía dedicada a cómo calcular tu nota media y otra sobre cómo subir la media con estrategia.

El deporte. La media de puntos por partido de un jugador de baloncesto, el porcentaje de acierto en tiros libres, los goles por encuentro de un delantero, el ritmo medio de un corredor en kilómetros por hora. Toda la analítica deportiva moderna es estadística descriptiva llevada al extremo. Y fíjate en un detalle: cuando dicen que un jugador "promedia 18 puntos" no te están diciendo que meta 18 todos los días; te están dando un resumen que oculta si es muy regular o muy irregular. Para saber eso hace falta la desviación típica, que veremos más adelante.

Las encuestas. "El 62% de los españoles cree que...". Detrás de esa frase hay una muestra de unas mil o dos mil personas a las que se ha preguntado algo, y una población de decenas de millones a las que se quiere describir. Entender la diferencia entre esas dos palabras es lo que te permite leer una noticia con sentido crítico en lugar de tragártela entera.

Y también la salud, el clima y el dinero. La temperatura media de julio, la precipitación acumulada del año, el precio medio del alquiler en tu ciudad, el tiempo medio de espera en urgencias, la tensión arterial media de un paciente. Todo son medias, medianas y dispersiones.

Por qué se estudia en toda la ESO

El bloque de estadística aparece en los cuatro cursos, con una dificultad creciente:

• En 1º y 2º de ESO se trabajan las tablas de frecuencias sencillas, la media, la moda, la mediana y los gráficos de barras y sectores.
• En 3º de ESO entran las frecuencias acumuladas, los datos agrupados en intervalos, el histograma y las primeras medidas de dispersión (rango y desviación típica).
• En 4º de ESO se añaden los cuartiles, el diagrama de caja y bigotes, el coeficiente de variación y una introducción a la probabilidad y al muestreo.

Es decir: lo que aprendas bien ahora te sirve los cuatro años, y después en Bachillerato, en la universidad y en cualquier trabajo que toque datos. Si vas justo de base, en Profe 24/7 solemos empezar precisamente por aquí porque es el bloque donde antes se nota la mejora en la nota.

El vocabulario básico: población, muestra y variable

Antes de calcular nada hay que llamar a las cosas por su nombre. Estas cuatro definiciones caen en el examen casi siempre, y valen puntos fáciles.

Población

La población es el conjunto completo de todos los elementos que quieres estudiar. Ojo: no tienen que ser personas. Pueden ser bombillas, tornillos, partidos de fútbol, días del año o árboles de un bosque.

• Si estudias la altura de los alumnos de 3º ESO de tu instituto, la población son todos los alumnos de 3º de tu instituto.
• Si estudias la duración de las bombillas de una fábrica, la población son todas las bombillas fabricadas.

Cada elemento concreto de la población se llama individuo (aunque sea una bombilla).

Muestra

Muchas veces es imposible, carísimo o absurdo estudiar la población entera. Imagina medir la duración de todas las bombillas: tendrías que encenderlas hasta que se fundieran y te quedarías sin producto. Entonces se estudia una parte: la muestra.

Una muestra es un subconjunto de la población que se elige para estudiarlo y sacar conclusiones sobre el total. El número de individuos de la muestra se llama tamaño de la muestra y se escribe con la letra n.

La clave de una buena muestra es que sea representativa, es decir, que se parezca a la población. Si quieres saber la opinión de todo el instituto y solo preguntas al equipo de baloncesto, tu muestra está sesgada y las conclusiones no valen. Este es, por cierto, el error que hunde muchas encuestas reales.

Variable estadística

La variable estadística es la característica que estás midiendo u observando en cada individuo: la altura, el color de ojos, el número de hermanos, la nota, el deporte favorito. Los valores concretos que toma esa variable son los datos.

Las variables se clasifican así:

Variables cualitativas. Sus valores no son números, sino cualidades o categorías: color de pelo, deporte favorito, marca de móvil, país de nacimiento, tipo de música. Con ellas puedes calcular la moda, pero no la media ni la mediana (¿cuál es la media entre "fútbol" y "natación"? No existe).

Variables cuantitativas discretas. Sus valores son números que solo pueden tomar valores aislados, normalmente enteros, y "se pueden contar": número de hermanos, goles en un partido, número de asignaturas suspensas, número de mascotas. No tiene sentido decir 2,7 hermanos como dato individual (aunque la media sí pueda salir 2,7; eso es otra cosa).

Variables cuantitativas continuas. Sus valores pueden ser cualquier número dentro de un intervalo, incluidos los decimales: altura, peso, tiempo, temperatura, longitud. Entre 1,70 m y 1,71 m hay infinitos valores posibles. Con estas variables casi siempre hay que agrupar los datos en intervalos para poder manejarlos.

Una tabla-resumen para memorizar

Si te preguntan en el examen "¿qué medida de centralización puedes calcular con esta variable?", esta tabla te da la respuesta directa.

Tablas de frecuencias paso a paso

La tabla de frecuencias es la herramienta que convierte un desorden de datos en algo legible. Vamos a construir una completa, columna a columna, con un caso real.

El punto de partida: los datos en bruto

Estas son las notas del examen de Matemáticas de un grupo de 3º de ESO, tal y como salen del cuaderno de la profesora, sin ordenar (25 alumnos):

5, 7, 4, 8, 6, 5, 9, 7, 6, 5, 3, 8, 7, 6, 10, 5, 4, 7, 6, 8, 5, 7, 9, 6, 7

Así, en fila, no dicen prácticamente nada. Vamos a organizarlos.

Paso 1: identifica los valores distintos y ordénalos

Recorre la lista y anota qué valores diferentes aparecen: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Los escribimos ordenados de menor a mayor en la primera columna, que llamaremos x_i (los valores de la variable).

Paso 2: la frecuencia absoluta (f_i)

La frecuencia absoluta de un valor es el número de veces que aparece ese valor en los datos. Se escribe f_i.

La forma segura de contar sin equivocarse es ir marcando con palitos: recorre la lista una sola vez, de principio a fin, y ve poniendo una marca en la fila que corresponda. Nunca cuentes valor por valor recorriendo la lista ocho veces; ahí es donde se cometen los fallos.

Contando así obtenemos:

• El 3 aparece 1 vez.
• El 4 aparece 2 veces.
• El 5 aparece 5 veces.
• El 6 aparece 5 veces.
• El 7 aparece 6 veces.
• El 8 aparece 3 veces.
• El 9 aparece 2 veces.
• El 10 aparece 1 vez.

Comprobación obligatoria: la suma de todas las frecuencias absolutas tiene que dar el número total de datos.

1 + 2 + 5 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 25 ✔ (y efectivamente hay 25 alumnos)

Si esa suma no te da n, tienes un error de conteo. Vuelve atrás antes de seguir, porque todo lo demás saldrá mal.

Paso 3: la frecuencia relativa (h_i)

La frecuencia relativa es la proporción que representa cada valor sobre el total. Se calcula dividiendo la frecuencia absoluta entre el número total de datos:

h_i = f_i / n

Es un número entre 0 y 1. Si lo multiplicas por 100 obtienes el porcentaje, que es como se suele presentar en la práctica. Si los porcentajes se te atragantan, repasa antes nuestra guía de cómo calcular porcentajes; aquí los vas a usar constantemente.

• h(3) = 1/25 = 0,04 → 4%
• h(4) = 2/25 = 0,08 → 8%
• h(5) = 5/25 = 0,20 → 20%
• h(6) = 5/25 = 0,20 → 20%
• h(7) = 6/25 = 0,24 → 24%
• h(8) = 3/25 = 0,12 → 12%
• h(9) = 2/25 = 0,08 → 8%
• h(10) = 1/25 = 0,04 → 4%

Comprobación obligatoria: la suma de las frecuencias relativas tiene que dar 1 (y la de los porcentajes, 100%).

0,04 + 0,08 + 0,20 + 0,20 + 0,24 + 0,12 + 0,08 + 0,04 = 1,00 ✔

Paso 4: la frecuencia absoluta acumulada (F_i)

La frecuencia absoluta acumulada de un valor es la suma de su frecuencia y las de todos los valores anteriores. Responde a la pregunta: "¿cuántos datos hay iguales o menores que este?".

Se construye acumulando de arriba abajo:

• F(3) = 1
• F(4) = 1 + 2 = 3
• F(5) = 3 + 5 = 8
• F(6) = 8 + 5 = 13
• F(7) = 13 + 6 = 19
• F(8) = 19 + 3 = 22
• F(9) = 22 + 2 = 24
• F(10) = 24 + 1 = 25

Comprobación obligatoria: el último valor acumulado tiene que ser exactamente n. Aquí F(10) = 25 ✔

Esta columna es muchísimo más útil de lo que parece. Fíjate en lo que ya puedes leer directamente: 13 alumnos han sacado un 6 o menos y, por tanto, 25 − 13 = 12 han sacado más de 6. Y como veremos, es la columna que te da la mediana de un vistazo.

Paso 5: la frecuencia relativa acumulada (H_i)

Igual que la anterior, pero con las relativas. También puedes obtenerla dividiendo F_i entre n:

• H(3) = 1/25 = 0,04 → 4%
• H(4) = 3/25 = 0,12 → 12%
• H(5) = 8/25 = 0,32 → 32%
• H(6) = 13/25 = 0,52 → 52%
• H(7) = 19/25 = 0,76 → 76%
• H(8) = 22/25 = 0,88 → 88%
• H(9) = 24/25 = 0,96 → 96%
• H(10) = 25/25 = 1,00 → 100%

El último tiene que ser 1 (o 100%) ✔

Lectura directa: el 52% de la clase ha sacado un 6 o menos, y el 32% ha sacado un 5 o menos (es decir, un 32% ha suspendido si el aprobado está en 5... cuidado, un 5 aprueba, así que suspenden los de 3 y 4: el 12%).

La tabla completa

Guarda esta tabla, porque la vamos a usar para calcular la media, la mediana, la moda, el rango y la desviación típica del mismo conjunto.

Datos agrupados en intervalos

Cuando la variable es continua (alturas, pesos, tiempos) o cuando hay muchísimos valores distintos, hacer una fila por cada valor es inútil: tendrías una tabla de treinta filas con un 1 en cada frecuencia. En ese caso se agrupan los datos en intervalos o clases.

Ejemplo: alturas en centímetros de 30 alumnos, agrupadas en intervalos de 10 cm.

Dos conceptos nuevos:

La marca de clase es el punto medio del intervalo y es el valor que "representa" a todos los datos de ese intervalo en los cálculos. Se obtiene sumando los extremos y dividiendo entre 2: (150 + 160)/2 = 155.

La amplitud es la anchura del intervalo: 160 − 150 = 10 cm. Conviene que todos los intervalos tengan la misma amplitud.

La notación [150, 160) significa que el 150 sí está incluido y el 160 no: un alumno que mida exactamente 160 cm va al intervalo siguiente. Así ningún dato puede caer en dos sitios a la vez.

La media aritmética

Qué es y cómo se calcula

La media aritmética es el valor que resultaría si repartieras el total a partes iguales entre todos los datos. Es el "reparto justo".

Media = suma de todos los datos ÷ número de datos

En símbolos, con la barra encima de la x: x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n

Ejemplo directo. Las notas de Lucía en Biología han sido 6, 8, 5, 7 y 9.

1. Suma: 6 + 8 + 5 + 7 + 9 = 35
2. Divide entre el número de datos: 35 / 5 = 7

La media de Lucía es 7.

La media a partir de una tabla de frecuencias

Cuando los datos vienen en tabla, sumar uno a uno sería absurdo. Lo que se hace es multiplicar cada valor por su frecuencia y sumar esos productos. Es exactamente lo mismo: en lugar de sumar el 5 cinco veces, lo multiplicas por 5.

x̄ = (Σ x_i · f_i) / n

Volvamos a nuestra tabla de las 25 notas. Añadimos una columna con los productos:

Comprobemos la suma de la última columna: 3 + 8 = 11; 11 + 25 = 36; 36 + 30 = 66; 66 + 42 = 108; 108 + 24 = 132; 132 + 18 = 150; 150 + 10 = 160.

x̄ = 160 / 25 = 6,4

La nota media del examen es 6,4.

La media con datos agrupados

Con intervalos no conoces los datos exactos, así que usas la marca de clase como representante. El procedimiento es idéntico:

Suma: 620 + 1.485 = 2.105; 2.105 + 1.925 = 4.030; 4.030 + 1.110 = 5.140

x̄ = 5.140 / 30 = 171,33 cm (aproximadamente 171,3 cm)

Es una estimación, no el valor exacto, porque hemos supuesto que todos los alumnos de cada intervalo miden justo la marca de clase. Pero es una aproximación muy buena y es lo que se pide en la ESO.

La media ponderada: cómo se calcula de verdad la nota de una asignatura

Aquí está el concepto que más se usa en la vida real y el que peor se entiende. En una media ponderada, cada dato tiene un peso distinto: unos cuentan más que otros.

Media ponderada = Σ (dato · peso) / Σ pesos

Cuando los pesos son porcentajes que suman 100%, la fórmula se simplifica: basta con multiplicar cada nota por su peso en tanto por uno y sumar.

Ejemplo completo: la nota de Matemáticas de Marcos.

Su profesor reparte la nota así:

• Exámenes: 60%
• Trabajos y proyectos: 25%
• Cuaderno, deberes y actitud: 15%

Marcos tiene una media de exámenes de 6,5, un 8 en trabajos y un 9 en cuaderno y actitud.

Paso 1. Pasa cada porcentaje a tanto por uno: 60% → 0,60; 25% → 0,25; 15% → 0,15.

Paso 2. Multiplica cada nota por su peso:

• 0,60 · 6,5 = 3,90
• 0,25 · 8 = 2,00
• 0,15 · 9 = 1,35

Paso 3. Suma los resultados:

3,90 + 2,00 + 1,35 = 7,25

La nota de Marcos es un 7,25.

Y ahora lo importante. Si Marcos hubiera hecho la media simple de sus tres notas, le habría salido (6,5 + 8 + 9) / 3 = 23,5 / 3 = 7,83. Casi seis décimas más. ¿Por qué? Porque la media simple trata las tres notas como si valieran lo mismo, y no es así: los exámenes, que son su nota más baja, pesan casi cuatro veces más que el cuaderno.

Esta es la razón por la que tanta gente se lleva un disgusto con el boletín: hacen la media a ojo, sin ponderar, y les sale más de lo que aparece. Antes de estudiar para un examen, mira los porcentajes de evaluación de tu profesor y calcula qué necesitas de verdad. Es información que cambia cómo repartes tu tiempo; lo explicamos con más detalle en la guía de cómo aprobar Matemáticas.

Segundo ejemplo: la nota final de curso. Un instituto pondera las evaluaciones así: 1ª evaluación 20%, 2ª evaluación 30%, 3ª evaluación 50%. Ana ha sacado 5, 6 y 8.

• 0,20 · 5 = 1,00
• 0,30 · 6 = 1,80
• 0,50 · 8 = 4,00

Total: 1,00 + 1,80 + 4,00 = 6,80

Con media simple habría sido (5 + 6 + 8)/3 = 19/3 = 6,33. La ponderación premia haber ido a mejor, que es justo lo que pretende el sistema.

Propiedades de la media que caen en el examen

1. Usa todos los datos. Es su gran virtud y su gran defecto: ningún valor se queda fuera, pero eso significa que un solo dato extremo la arrastra.
2. Si sumas una constante a todos los datos, la media aumenta esa constante. Si el profesor sube medio punto a toda la clase, la media sube exactamente 0,5.
3. Si multiplicas todos los datos por un número, la media queda multiplicada por ese número.
4. La suma de las desviaciones respecto a la media es cero. Lo que unos datos están por encima, otros lo están por debajo, exactamente en la misma cantidad. Esta propiedad es la razón de que en la desviación típica haya que elevar al cuadrado, como veremos.

La mediana: cómo calcularla en cada caso

La mediana (Me) es el valor que ocupa la posición central cuando los datos están ordenados de menor a mayor. Deja la mitad de los datos por debajo y la mitad por encima.

La palabra clave, la que se olvida en el 90% de los errores, es ordenados. Si no ordenas primero, no hay mediana que valga.

Caso 1: número impar de datos

Con un número impar hay un dato justo en el centro, y ese es la mediana. Su posición es:

posición = (n + 1) / 2

Ejemplo. Los goles marcados por un equipo en sus 7 últimos partidos: 12, 9, 15, 7, 11, 20, 10.

Paso 1. Ordena: 7, 9, 10, 11, 12, 15, 20

Paso 2. Calcula la posición: (7 + 1) / 2 = 8 / 2 = 4ª posición

Paso 3. Cuenta hasta la cuarta: 7 (1ª), 9 (2ª), 10 (3ª), 11 (4ª)

Mediana = 11

Caso 2: número par de datos

Con un número par no hay un dato central: hay dos. La mediana es la media aritmética de esos dos. Ocupan las posiciones n/2 y n/2 + 1.

Ejemplo. Horas de estudio semanales de 8 alumnos: 10, 7, 15, 4, 9, 12, 7, 6.

Paso 1. Ordena: 4, 6, 7, 7, 9, 10, 12, 15

Paso 2. Posiciones centrales: n/2 = 8/2 = 4ª y n/2 + 1 = 5ª

Paso 3. Los valores son 7 y 9.

Paso 4. Mediana = (7 + 9) / 2 = 16 / 2 = 8

Mediana = 8 horas. Fíjate en algo importante: la mediana no tiene por qué ser uno de los datos. Aquí nadie ha estudiado 8 horas exactas, y aun así la mediana es 8.

Caso 3: la mediana con tabla de frecuencias

Aquí es donde la columna de frecuencias acumuladas se convierte en tu mejor amiga. No hace falta escribir los 25 datos ordenados: la tabla ya los tiene ordenados por ti.

El método es:

1. Calcula la posición central igual que antes.
2. Busca en la columna F_i el primer valor que iguale o supere esa posición.
3. El valor x_i de esa fila es la mediana.

Ejemplo con nuestras 25 notas.

n = 25, que es impar → posición = (25 + 1)/2 = 13ª

Recorremos la columna F_i buscando dónde "cae" el dato número 13:

El primer acumulado que llega o pasa de 13 es F = 13, en la fila del 6. Por tanto:

Mediana = 6

Interpretación: la mitad de la clase ha sacado un 6 o menos y la otra mitad un 6 o más. Compáralo con la media, que era 6,4. Están cerca, señal de que los datos son bastante simétricos y no hay valores extremos raros.

Caso 4: la mediana con datos agrupados

Con intervalos no puedes dar un valor exacto, así que en la ESO basta con identificar el intervalo mediano: aquel donde cae la posición central.

En las alturas: n = 30, así que buscamos las posiciones 15 y 16. Las acumuladas eran 4, 13, 24, 30. El primer acumulado que supera 15 es 24, correspondiente al intervalo [170, 180).

El intervalo mediano es [170, 180) cm. Si te piden un valor concreto, se aproxima por la marca de clase: 175 cm.

Los cuartiles (4º de ESO)

La mediana parte los datos en dos mitades. Los cuartiles los parten en cuatro trozos iguales:

• Q1 (primer cuartil): deja por debajo el 25% de los datos.
• Q2: es la mediana (50%).
• Q3 (tercer cuartil): deja por debajo el 75%.

Para localizarlos calculas n/4 y 3n/4. Si el resultado no es entero, redondeas hacia arriba y tomas ese dato; si es entero, haces la media de ese dato y el siguiente.

Con nuestras 25 notas:

• Q1: 25/4 = 6,25 → no es entero → redondeamos a 7 → el dato en 7ª posición. Según la tabla, los datos 4 al 8 valen 5. Por tanto Q1 = 5.
• Q3: 3 · 25/4 = 18,75 → redondeamos a 19 → el dato 19. Los datos 14 al 19 valen 7. Por tanto Q3 = 7.

El recorrido intercuartílico es Q3 − Q1 = 7 − 5 = 2. Significa que el 50% central de la clase se mueve en una franja de solo 2 puntos: es un grupo bastante homogéneo.

La moda

La moda (Mo) es el valor con mayor frecuencia absoluta, es decir, el que más se repite. Es la más sencilla de calcular y la única que sirve para variables cualitativas.

Cómo se calcula

Simplemente miras la columna f_i y localizas el máximo.

Con nuestras 25 notas: las frecuencias son 1, 2, 5, 5, 6, 3, 2, 1. La mayor es 6, que corresponde al valor 7.

Moda = 7. La nota que más se ha repetido en el examen es el 7.

Con datos cualitativos. Encuesta sobre el deporte favorito en un grupo de 30 alumnos:

Moda = fútbol. Aquí no puedes calcular ni media ni mediana: "la media entre fútbol y tenis" no significa nada.

Unimodal, bimodal y multimodal

• Unimodal: hay un único valor con la frecuencia más alta. Es el caso de nuestras notas (moda = 7).
• Bimodal: hay dos valores que empatan en la frecuencia máxima. Ejemplo: 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7. El 3 aparece dos veces y el 5 también, y ningún otro llega a dos. Modas: 3 y 5. No elijas una sola: se dan las dos.
• Multimodal: tres o más valores empatados en el máximo.
• Sin moda: si todos los valores aparecen el mismo número de veces (por ejemplo 1, 2, 3, 4, 5, donde cada uno sale una vez), se dice que la distribución no tiene moda o que es amodal.

El intervalo modal

Con datos agrupados, se habla de intervalo modal: el que tiene mayor frecuencia. En las alturas, el intervalo con f = 11 es [170, 180). Si te piden un número, se usa la marca de clase: 175 cm.

Cuándo cada medida engaña

Este apartado es el que separa un 6 de un 9 en el examen, porque es donde se pide interpretar y no solo calcular. La pregunta típica es: "¿qué medida representa mejor estos datos y por qué?".

La media y los valores atípicos: el caso de los sueldos

Un valor atípico (o outlier) es un dato muchísimo mayor o menor que el resto. La media es extremadamente sensible a ellos; la mediana, casi inmune.

Ejemplo. Una pequeña empresa tiene 10 trabajadores. Ocho cobran 1.200 € al mes, el encargado cobra 2.000 € y el dueño cobra 20.000 €.

Media:

• Suma: 8 · 1.200 = 9.600; 9.600 + 2.000 = 11.600; 11.600 + 20.000 = 31.600
• Media = 31.600 / 10 = 3.160 €

Mediana: ordenamos los 10 sueldos: 1.200, 1.200, 1.200, 1.200, 1.200, 1.200, 1.200, 1.200, 2.000, 20.000. Como n = 10 es par, tomamos las posiciones 5ª y 6ª: ambas valen 1.200.

• Mediana = (1.200 + 1.200) / 2 = 1.200 €

Moda: el valor más repetido es 1.200 € (8 veces).

Ahora piensa. Si el dueño publica un anuncio diciendo "en nuestra empresa el sueldo medio es de 3.160 €", no está mintiendo técnicamente, pero está dando una imagen falsísima: ni un solo trabajador cobra eso ni nada parecido. Ocho de cada diez cobran 1.200 €.

Conclusión: cuando hay valores atípicos o los datos están muy desequilibrados, la mediana representa mejor la realidad. Por eso, cuando lees noticias sobre salarios o precios de vivienda, la cifra rigurosa es la mediana, no la media.

Cuándo usar cada una: guía rápida

Cuándo engaña la mediana

No todo son ventajas. La mediana ignora la magnitud de los datos: solo mira posiciones. Si los sueldos hubieran sido 1.200, 1.200, ..., 1.200 y el dueño cobrara 200.000 € en lugar de 20.000 €, la mediana seguiría siendo 1.200 € exactamente igual. En situaciones donde el total sí importa (por ejemplo, para saber cuánto gasta la empresa en nóminas), la media es la que sirve.

Cuándo engaña la moda

La moda puede ser un dato completamente marginal. Imagina las notas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9. La moda es 9, pero solo dos alumnos la han sacado: no representa al grupo en absoluto. La moda solo es informativa cuando destaca claramente sobre las demás frecuencias.

Rango y desviación típica: medir la dispersión

Las medidas de centralización (media, mediana, moda) te dicen dónde está el centro. Pero no te dicen nada sobre si los datos están apretaditos alrededor de ese centro o desparramados. Para eso están las medidas de dispersión.

Por qué hacen falta: dos grupos con la misma media

Fíjate en estas notas de dos grupos de 8 alumnos:

• Grupo A: 5, 5, 6, 6, 5, 6, 5, 6 → suma = 5·4 + 6·4 = 20 + 24 = 44 → media = 44/8 = 5,5
• Grupo B: 1, 2, 4, 6, 7, 9, 10, 5 → suma = 1+2+4+6+7+9+10+5 = 44 → media = 44/8 = 5,5

La misma media exacta. Y sin embargo son grupos radicalmente distintos: en el A todo el mundo saca 5 o 6, es un grupo homogéneo; en el B hay gente con un 1 y gente con un 10. Si eres el profesor, tu estrategia con cada grupo tiene que ser opuesta. La media sola te ocultaba esto por completo.

El rango o recorrido

El rango es la medida de dispersión más sencilla:

Rango = valor máximo − valor mínimo

• Grupo A: 6 − 5 = 1
• Grupo B: 10 − 1 = 9
• Nuestras 25 notas: 10 − 3 = 7

Ventaja: se calcula en dos segundos. Inconveniente: solo mira dos datos, los extremos, e ignora todo lo que hay en medio. Un único dato atípico dispara el rango sin que la mayoría del grupo esté dispersa.

La desviación típica, explicada intuitivamente

La desviación típica (se escribe con la letra griega σ, sigma) es "la distancia media de los datos a la media". Es decir: de media, ¿cuánto se separa cada dato del centro?

Si σ es pequeña, los datos están apiñados alrededor de la media y esta los representa bien. Si σ es grande, están desperdigados y la media es un resumen poco fiable.

Ahora bien, hay un problema técnico. Si calcularas la media de las distancias con signo, siempre te daría cero, porque lo que unos datos suben otros lo bajan (es la cuarta propiedad de la media que vimos antes). La solución de la estadística es elevar al cuadrado cada desviación: así todas se vuelven positivas y no se cancelan. Al promediar esos cuadrados se obtiene la varianza, y como la varianza está en "unidades al cuadrado" (puntos², cm²), se le hace la raíz cuadrada para volver a las unidades originales. Eso es la desviación típica.

Varianza: σ² = Σ (x_i − x̄)² · f_i / n

Desviación típica: σ = √(varianza)

Cálculo paso a paso, con una tabla

Vamos a hacerlo primero con un conjunto pequeño para que veas la mecánica limpia. Datos: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8).

Paso 1. Calcula la media.

Suma: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40 → x̄ = 40 / 8 = 5

Paso 2. Resta la media a cada dato (desviaciones).

2 − 5 = −3; 4 − 5 = −1; 4 − 5 = −1; 4 − 5 = −1; 5 − 5 = 0; 5 − 5 = 0; 7 − 5 = 2; 9 − 5 = 4

(Comprueba: −3 −1 −1 −1 + 0 + 0 + 2 + 4 = 0 ✔ Como tenía que ser.)

Paso 3. Eleva cada desviación al cuadrado.

9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16

Paso 4. Suma los cuadrados.

9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32

Paso 5. Divide entre n → varianza.

σ² = 32 / 8 = 4

Paso 6. Raíz cuadrada → desviación típica.

σ = √4 = 2

La desviación típica es 2: de media, los datos se alejan 2 unidades del 5.

Ahora con nuestra tabla de 25 notas

Con frecuencias, cada desviación al cuadrado se multiplica por su frecuencia (igual que hicimos con la media). Recuerda que x̄ = 6,4.

Comprobemos la suma final: 11,56 + 11,52 = 23,08; + 9,80 = 32,88; + 0,80 = 33,68; + 2,16 = 35,84; + 7,68 = 43,52; + 13,52 = 57,04; + 12,96 = 70,00 ✔

Varianza: σ² = 70 / 25 = 2,8

Desviación típica: σ = √2,8 ≈ 1,67

Interpretación: la nota media fue 6,4 y, de media, cada alumno se separa 1,67 puntos de ella. La mayoría de la clase se mueve entre 6,4 − 1,67 = 4,73 y 6,4 + 1,67 = 8,07. Es un grupo razonablemente homogéneo.

La fórmula abreviada (más rápida en el examen)

Existe una versión equivalente que evita restar la media a cada dato y es mucho más cómoda cuando la media tiene decimales:

σ² = (Σ x_i² · f_i / n) − x̄²

Comprobémoslo con los mismos datos:

Suma: 9 + 32 = 41; + 125 = 166; + 180 = 346; + 294 = 640; + 192 = 832; + 162 = 994; + 100 = 1.094

σ² = 1.094/25 − 6,4² = 43,76 − 40,96 = 2,80 ✔

Sale exactamente lo mismo. Usa la que te resulte más cómoda, pero conoce las dos: algunos profesores exigen una en concreto.

Volvemos a los grupos A y B

Grupo A (5, 5, 6, 6, 5, 6, 5, 6), media 5,5. Cada dato se desvía ±0,5, así que cada cuadrado vale 0,25. Hay 8 datos: suma = 8 · 0,25 = 2. Varianza = 2/8 = 0,25 → σ = 0,5

Grupo B (1, 2, 4, 6, 7, 9, 10, 5), media 5,5:

• (1 − 5,5)² = 20,25
• (2 − 5,5)² = 12,25
• (4 − 5,5)² = 2,25
• (6 − 5,5)² = 0,25
• (7 − 5,5)² = 2,25
• (9 − 5,5)² = 12,25
• (10 − 5,5)² = 20,25
• (5 − 5,5)² = 0,25

Suma: 20,25 + 12,25 = 32,5; + 2,25 = 34,75; + 0,25 = 35; + 2,25 = 37,25; + 12,25 = 49,5; + 20,25 = 69,75; + 0,25 = 70

Varianza = 70 / 8 = 8,75 → σ = √8,75 ≈ 2,96

Misma media (5,5), pero σ de 0,5 frente a 2,96: casi seis veces más dispersión. Ahora los números sí cuentan la historia completa.

El coeficiente de variación (4º de ESO)

Para comparar la dispersión de conjuntos con medias muy distintas o unidades diferentes se usa el coeficiente de variación:

CV = σ / x̄ (a menudo expresado en %)

En el grupo A: CV = 0,5 / 5,5 = 0,0909 → 9,1%. En el grupo B: CV = 2,96 / 5,5 = 0,538 → 53,8%. Cuanto mayor es el CV, más heterogéneo es el conjunto.

Gráficos estadísticos y cómo elegirlos

Un buen gráfico transmite en dos segundos lo que una tabla tarda un minuto. Pero solo si eliges el correcto. Estos son los tres que entran en la ESO.

Diagrama de barras

Para qué: variables cualitativas y cuantitativas discretas.

Cómo es: en el eje horizontal van los valores o categorías; en el vertical, la frecuencia. Se dibuja una barra por valor, todas de la misma anchura y separadas entre sí. Esa separación no es estética: indica que entre un valor y otro no hay nada intermedio (entre 2 y 3 hermanos no existe el 2,5).

Ejemplo: las 25 notas de nuestro examen. Ocho barras, la más alta la del 7 (altura 6), la más baja las del 3 y el 10 (altura 1). De un vistazo ves dónde se concentra la clase.

Truco de examen: empieza siempre el eje vertical en 0. Cortarlo por arriba exagera visualmente las diferencias y es una de las manipulaciones gráficas más habituales en publicidad y política.

Diagrama de sectores (el "gráfico de quesitos")

Para qué: variables cualitativas cuando quieres mostrar proporciones sobre un total.

Cómo se construye: el círculo completo (360°) representa el 100%. El ángulo de cada sector se calcula con una simple regla de tres, o multiplicando la frecuencia relativa por 360.

ángulo = h_i · 360°

Con nuestra encuesta de deportes:

• Fútbol: (12/30) · 360 = 0,40 · 360 = 144°
• Baloncesto: (8/30) · 360 = 0,2667 · 360 = 96°
• Natación: (6/30) · 360 = 0,20 · 360 = 72°
• Tenis: (4/30) · 360 = 0,1333 · 360 = 48°

Comprobación: 144 + 96 + 72 + 48 = 360° ✔

Si te lías con estos repartos proporcionales, échale un ojo a nuestra guía de la regla de tres: es exactamente el mismo mecanismo.

Cuándo NO usarlo: cuando hay muchas categorías (más de cinco o seis se vuelve ilegible) o cuando las proporciones son muy parecidas, porque el ojo humano compara mal ángulos similares. En esos casos, barras.

Histograma

Para qué: variables cuantitativas continuas con datos agrupados en intervalos.

Cómo es: parecido a un diagrama de barras, pero con dos diferencias clave:

1. Las barras van pegadas, sin separación, porque la variable es continua y no hay huecos entre intervalos.
2. La anchura de cada barra es la amplitud del intervalo.

Ejemplo: las alturas de los 30 alumnos. Cuatro barras pegadas de 10 cm de anchura, con alturas 4, 9, 11 y 6. Se ve al momento que la clase se concentra entre 160 y 180 cm.

Si unes con líneas rectas los puntos medios de la parte superior de cada barra obtienes el polígono de frecuencias, que ayuda a ver la forma de la distribución.

Tabla de decisión rápida

14 ejercicios resueltos, de menos a más

Ejercicio 1: media simple

Calcula la media de: 6, 8, 5, 7, 9.

Suma: 6 + 8 = 14; 14 + 5 = 19; 19 + 7 = 26; 26 + 9 = 35. Son 5 datos.

Media = 35 / 5 = 7

Ejercicio 2: mediana con número impar de datos

Halla la mediana de: 3, 8, 5, 10, 6.

Ordenamos: 3, 5, 6, 8, 10. Como n = 5, la posición central es (5+1)/2 = 3ª.

Mediana = 6

Ejercicio 3: mediana con número par de datos

Halla la mediana de: 4, 9, 7, 2, 8, 6.

Ordenamos: 2, 4, 6, 7, 8, 9. Como n = 6, las posiciones centrales son la 3ª y la 4ª: valen 6 y 7.

Mediana = (6 + 7) / 2 = 6,5

Ejercicio 4: moda y rango

En 2, 4, 4, 5, 6, 4, 7, halla la moda y el rango.

Frecuencias: el 2 sale 1 vez, el 4 sale 3 veces, el 5 sale 1, el 6 sale 1, el 7 sale 1.

Moda = 4 (unimodal). Rango = 7 − 2 = 5

Ejercicio 5: las tres medidas juntas

Temperaturas máximas de una semana (°C): 12, 18, 9, 21, 15, 18, 12.

Ordenamos: 9, 12, 12, 15, 18, 18, 21

• Media: suma = 9+18 = 27; +12 = 39; +21 = 60; +15 = 75; +18 = 93; +12 = 105. Media = 105 / 7 = 15 °C
• Mediana: n = 7 → posición 4ª → 15 °C
• Moda: el 12 sale 2 veces y el 18 sale 2 veces → bimodal: 12 y 18 °C
• Rango: 21 − 9 = 12 °C

Ejercicio 6: tabla de frecuencias completa

Goles marcados por un equipo en sus 20 últimos partidos: 0, 1, 2, 1, 3, 0, 2, 1, 4, 2, 1, 0, 3, 2, 1, 2, 1, 0, 2, 3. Construye la tabla completa y calcula media, mediana y moda.

Contamos con palitos, recorriendo la lista una sola vez:

Comprobaciones: 4 + 6 + 6 + 3 + 1 = 20 ✔ y las relativas suman 1 ✔

• Media: 31 / 20 = 1,55 goles por partido
• Mediana: n = 20 (par) → posiciones 10ª y 11ª. La acumulada llega a 10 en el valor 1 (así que el dato 10 vale 1) y el dato 11 ya está en el valor 2. Mediana = (1 + 2)/2 = 1,5 goles
• Moda: empatan el 1 y el 2 con frecuencia 6 → bimodal: 1 y 2 goles
• Rango: 4 − 0 = 4

Ejercicio 7: media ponderada de una asignatura

El profesor de Física y Química evalúa así: exámenes 70%, prácticas de laboratorio 20%, cuaderno 10%. Carla tiene 5,5 en exámenes, 9 en prácticas y 8 en cuaderno. ¿Cuál es su nota?

• 0,70 · 5,5 = 3,85
• 0,20 · 9 = 1,80
• 0,10 · 8 = 0,80

Suma: 3,85 + 1,80 + 0,80 = 6,45

Nota de Carla: 6,45 (se redondearía a 6). Con media simple habría salido (5,5 + 9 + 8)/3 = 22,5/3 = 7,5. Un punto entero de diferencia.

Ejercicio 8: encontrar un dato que falta

La media de 5 notas es 7. Cuatro de ellas son 6, 8, 5 y 9. ¿Cuál es la quinta?

Si la media es 7 con 5 datos, la suma total tiene que ser 7 · 5 = 35.

La suma de las cuatro conocidas es 6 + 8 + 5 + 9 = 28.

Nota que falta = 35 − 28 = 7

Ejercicio 9: qué nota necesito en el próximo examen

Diego lleva un 5, un 6 y un 7 en Matemáticas. Quiere terminar con una media de 6,5 sobre cuatro exámenes. ¿Qué necesita en el cuarto?

Suma necesaria: 6,5 · 4 = 26

Suma actual: 5 + 6 + 7 = 18

Nota necesaria = 26 − 18 = 8

Este es exactamente el cálculo que deberías hacer antes de cada examen final, y no después. Lo desarrollamos con más casos en cómo subir la media.

Ejercicio 10: media, mediana y moda en una tabla

Número de hermanos de los 30 alumnos de una clase.

• Media: 45 / 30 = 1,5 hermanos
• Mediana: n = 30 (par) → posiciones 15ª y 16ª. La acumulada del valor 1 es 16, así que ambos datos valen 1. Mediana = 1 hermano
• Moda: la mayor frecuencia es 11 → Mo = 1 hermano
• Interpretación: las tres medidas están cerca (1,5 / 1 / 1), señal de una distribución sin sorpresas. Además, F(2) = 25 nos dice que 25 de los 30 alumnos tienen 2 hermanos o menos, o sea el 83,3%.

Ejercicio 11: desviación típica paso a paso

Calcula el rango, la varianza y la desviación típica de: 3, 5, 7, 8, 12.

Paso 1. Media: 3 + 5 + 7 + 8 + 12 = 35 → x̄ = 35 / 5 = 7

Paso 2. Desviaciones: 3−7 = −4; 5−7 = −2; 7−7 = 0; 8−7 = 1; 12−7 = 5 (suma: −4 −2 + 0 + 1 + 5 = 0 ✔)

Paso 3. Cuadrados: 16, 4, 0, 1, 25

Paso 4. Suma: 16 + 4 + 0 + 1 + 25 = 46

Paso 5. Varianza: 46 / 5 = 9,2

Paso 6. Desviación típica: σ = √9,2 ≈ 3,03

Rango: 12 − 3 = 9

Ejercicio 12: el efecto de un valor atípico

Mensajes enviados en un día por 8 alumnos: 10, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 198. Calcula media y mediana y decide cuál representa mejor al grupo.

Media: 10 + 12 = 22; + 15 = 37; + 18 = 55; + 20 = 75; + 22 = 97; + 25 = 122; + 198 = 320. Media = 320 / 8 = 40

Mediana: los datos ya están ordenados. n = 8 → posiciones 4ª y 5ª: 18 y 20. Mediana = (18 + 20)/2 = 19

Conclusión: siete de los ocho alumnos están entre 10 y 25 mensajes. La media de 40 no describe a ninguno de ellos: está inflada por el dato 198, un claro valor atípico. La mediana (19) representa mucho mejor al grupo.

Ejercicio 13: datos agrupados en intervalos

Tiempos (en minutos) que tardan 25 alumnos en llegar al instituto.

Comprobación de frecuencias: 6 + 10 + 7 + 2 = 25 ✔ Comprobación de la última columna: 30 + 150 = 180; + 175 = 355; + 70 = 425 ✔

• Media: 425 / 25 = 17 minutos
• Intervalo mediano: n = 25 → posición 13ª. El primer acumulado que llega o pasa de 13 es 16, en [10, 20)
• Intervalo modal: la mayor frecuencia es 10 → [10, 20)
• Lectura de la acumulada: 16 de 25 alumnos (el 64%) tardan menos de 20 minutos.

Ejercicio 14: interpretar dos conjuntos con la misma media

Dos jugadores de baloncesto han anotado en sus 5 últimos partidos:

Ana: 14, 15, 16, 15, 15 — Berta: 4, 25, 8, 28, 10

¿Quién es más regular?

Media de Ana: 14 + 15 + 16 + 15 + 15 = 75 → 75/5 = 15 puntos Media de Berta: 4 + 25 + 8 + 28 + 10 = 75 → 75/5 = 15 puntos

Idéntica media. Vamos a la dispersión.

σ de Ana: desviaciones −1, 0, 1, 0, 0 → cuadrados 1, 0, 1, 0, 0 → suma 2 → varianza 2/5 = 0,4 → σ = √0,4 ≈ 0,63

σ de Berta: desviaciones −11, 10, −7, 13, −5 → cuadrados 121, 100, 49, 169, 25 → suma: 121 + 100 = 221; + 49 = 270; + 169 = 439; + 25 = 464 → varianza 464/5 = 92,8 → σ = √92,8 ≈ 9,63

Rango: Ana 16 − 14 = 2; Berta 28 − 4 = 24.

Conclusión: Ana es muchísimo más regular (σ ≈ 0,63 frente a ≈ 9,63). Si necesitas garantizar 14 o 15 puntos cada partido, fichas a Ana. Si buscas la posibilidad de una noche de 28 puntos y aceptas el riesgo de una de 4, fichas a Berta. La media sola no te habría dicho nada de esto.

Errores típicos en los exámenes de estadística

1. No ordenar los datos antes de calcular la mediana. Es, con diferencia, el error número uno. La mediana exige datos ordenados de menor a mayor. Escribe la lista ordenada aunque te parezca una pérdida de tiempo.

2. Confundir el valor con la frecuencia. Cuando te preguntan la moda, la respuesta es el valor que más se repite, no el número de veces que se repite. Si el 7 aparece 6 veces, la moda es 7, no 6. Lo mismo con la mediana: es un valor de la variable, no una posición.

3. Dividir entre el número de valores distintos en lugar de entre n. En la tabla de las 25 notas hay 8 valores distintos, pero la media se divide entre 25, no entre 8. Divide siempre entre el total de datos, que es la suma de las frecuencias absolutas.

4. Hacer la media simple cuando piden ponderada. Si el enunciado menciona porcentajes, pesos, créditos o "cuenta un 40%", no es media simple. Multiplica cada nota por su peso.

5. Olvidar que puede haber dos modas. Si dos valores empatan en la frecuencia máxima, hay que dar las dos. Poner solo una cuesta el punto entero del apartado.

6. No comprobar que las relativas suman 1. Es la verificación más barata que existe y detecta la mayoría de los errores de tabla. Igual con la última acumulada, que tiene que ser n.

7. Confundir varianza con desviación típica. La varianza es σ², la desviación típica es σ. Si te piden la desviación típica y contestas 2,8 en lugar de 1,67, tienes el ejercicio mal aunque toda la tabla esté perfecta. La desviación típica siempre lleva raíz cuadrada al final.

8. Sumar las desviaciones sin elevar al cuadrado. Te dará cero siempre. Si te sale cero, no es que los datos sean iguales: es que has olvidado el cuadrado.

9. Calcular la media de datos cualitativos. No existe. Con colores, deportes o marcas, solo moda.

10. Poner las barras del histograma separadas. En un histograma van pegadas (variable continua); en un diagrama de barras, separadas (variable discreta o cualitativa). Es un detalle que los profesores corrigen sin piedad.

11. Perder decimales por el camino. Si la media es 6,4 y redondeas a 6 antes de calcular la desviación típica, el resultado final saldrá mal. Redondea solo al final.

12. No interpretar. Muchos exámenes piden "interpreta el resultado". Una frase basta: "la media es 6,4, lo que indica que el grupo aprobó con holgura, y la desviación típica de 1,67 muestra que es un grupo bastante homogéneo". Ese es un punto regalado que mucha gente deja en blanco.

Plan de 5 días para dominar el tema

Este plan asume unos 40-50 minutos diarios. Es el esquema que usamos en Profe 24/7 cuando un alumno tiene el examen de estadística la semana que viene.

Día 1 — Vocabulario y tablas de frecuencias

Objetivo: montar una tabla completa sin dudar.

• Aprende las definiciones de población, muestra, individuo y variable, y la clasificación (cualitativa / discreta / continua). Escríbelas con tus palabras y pon dos ejemplos propios de cada tipo.
• Construye tres tablas completas de cero (f, h, %, F, H) con datos que te inventes o del libro.
• Comprueba siempre las dos verificaciones: Σf = n y ΣH = 1.

Señal de que lo tienes: puedes hacer una tabla de 20 datos en menos de cinco minutos y sin fallos de conteo.

Día 2 — Media, mediana y moda

Objetivo: las tres medidas en todos los formatos.

• Media simple, media desde tabla y media desde datos agrupados (marca de clase).
• Mediana con n par y con n impar. Después, mediana desde tabla usando la columna F.
• Moda: unimodal, bimodal y con datos cualitativos.
• Haz los ejercicios 1 a 6 de esta guía tapando las soluciones.

Señal de que lo tienes: ante cualquier conjunto de datos das las tres medidas en menos de tres minutos.

Día 3 — Media ponderada y comparación de medidas

Objetivo: entender cuándo cada medida engaña.

• Practica la media ponderada con tus propias notas reales: busca los porcentajes de evaluación de tres asignaturas y calcula qué nota tienes ahora mismo. Es el ejercicio más motivador del tema.
• Trabaja el caso de los sueldos y el del valor atípico (ejercicios 7, 8, 9 y 12).
• Escribe en tu cuaderno la tabla de "qué medida usar en cada situación".

Señal de que lo tienes: puedes explicar en voz alta, sin mirar, por qué la mediana representa mejor los sueldos de una empresa.

Día 4 — Dispersión y gráficos

Objetivo: rango y desviación típica sin errores, y elegir bien el gráfico.

• Calcula la desviación típica de tres conjuntos pequeños con la tabla de seis pasos. Escribe siempre la tabla completa, aunque creas que puedes hacerlo de cabeza: en el examen esa tabla te da puntos parciales aunque el resultado final falle.
• Practica también la fórmula abreviada y comprueba que da lo mismo.
• Dibuja un diagrama de barras, uno de sectores (calculando los ángulos) y un histograma.
• Ejercicios 11, 13 y 14.

Señal de que lo tienes: no confundes varianza con desviación típica ni una sola vez.

Día 5 — Simulacro y repaso de errores

Objetivo: llegar al examen con la mecánica automatizada.

• Hazte un examen completo cronometrado: un ejercicio de tabla completa, uno de media ponderada, uno de desviación típica y uno de interpretación. Cuarenta y cinco minutos, sin mirar apuntes.
• Corrígete con severidad y anota qué tipo de error has cometido, no solo dónde.
• Repasa la lista de "errores típicos" de esta guía y marca los dos que más te pasan a ti.
• Descansa. Llegar cansado al examen te cuesta más puntos que la última hora de repaso.

Si en algún punto del plan te quedas atascado y no tienes a quién preguntar a las once de la noche, para eso existe Profe 24/7: un tutor que te explica el paso concreto que no entiendes, en el momento en que lo necesitas, y que te propone ejercicios nuevos del mismo tipo hasta que te salga solo.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre media, mediana y moda?

La media es el resultado de repartir el total entre todos los datos; la mediana es el valor central cuando los ordenas de menor a mayor; la moda es el valor que más se repite. Las tres resumen "el centro" de los datos, pero cada una lo hace de forma distinta y pueden dar resultados muy diferentes.

¿Cómo se calcula la mediana si hay un número par de datos?

Ordenas los datos de menor a mayor, localizas los dos valores centrales (posiciones n/2 y n/2 + 1) y calculas su media aritmética. Por ejemplo, con 2, 4, 6, 7, 8, 9 los centrales son el 6 y el 7, así que la mediana es (6 + 7)/2 = 6,5. No tiene por qué coincidir con ningún dato real.

¿Puede haber más de una moda?

Sí. Si dos valores empatan en la frecuencia máxima, la distribución es bimodal y debes dar las dos modas. Con tres o más empatados es multimodal. Y si todos los valores aparecen el mismo número de veces, se dice que no hay moda. Dar solo una moda cuando hay dos es un error muy penalizado.

¿Qué es exactamente la desviación típica?

Es la distancia media de los datos respecto a la media, y mide lo dispersos que están. Si es pequeña, los datos se agrupan cerca de la media y esta los representa bien; si es grande, están desperdigados. Se calcula haciendo la raíz cuadrada de la varianza, que es el promedio de las desviaciones al cuadrado.

¿Cuándo debo usar la mediana en lugar de la media?

Siempre que haya valores atípicos o los datos sean muy asimétricos. El caso clásico son los sueldos: si un directivo cobra veinte veces más que el resto, la media se dispara y deja de representar a nadie, mientras que la mediana sigue marcando el sueldo real de la mitad de la plantilla.

¿Para qué sirve la frecuencia acumulada?

Sirve para responder preguntas del tipo "¿cuántos datos hay iguales o menores que este valor?" sin tener que contar de nuevo. Además, es la forma rápida de localizar la mediana y los cuartiles en una tabla: buscas el primer acumulado que llega o supera la posición central y lees el valor de esa fila.

¿Cómo se calcula la media ponderada de una asignatura?

Pasa cada porcentaje a tanto por uno (60% → 0,60), multiplica cada nota por su peso y suma los resultados. Por ejemplo, con exámenes al 60% (6,5), trabajos al 25% (8) y actitud al 15% (9): 3,90 + 2,00 + 1,35 = 7,25. Nunca hagas la media simple si hay pesos distintos.

¿Entra la desviación típica en 1º y 2º de ESO?

Normalmente no. En 1º de ESO se trabajan tablas de frecuencias, media, moda, mediana y gráficos básicos. La desviación típica suele aparecer en 3º de ESO, y los cuartiles y el coeficiente de variación en 4º de ESO. Consulta siempre el temario de tu profesor.

Conclusión: tres números que cuentan una historia

Si te quedas con una sola idea de todo este artículo, que sea esta: media, mediana y moda no compiten entre sí, se complementan. Cada una ilumina una parte distinta de los datos, y la habilidad que de verdad te piden en la ESO no es calcularlas (eso es mecánico), sino saber cuál elegir y qué significa el número que has obtenido.

Y añade siempre la dispersión. Una media sin una desviación típica al lado es media información. "El grupo tiene un 6,4 de media" no dice lo mismo que "el grupo tiene un 6,4 de media con una desviación típica de 1,67": lo primero es un dato, lo segundo es un diagnóstico.

El plan es sencillo: monta tablas hasta que te salgan solas, calcula las tres medidas en todos los formatos, aprende la mecánica de seis pasos de la desviación típica y practica la interpretación en voz alta. Cinco días de trabajo constante bastan para pasar de ir perdido a llevar el tema controlado, porque la estadística de la ESO es repetitiva y muy agradecida.

Y si te atascas, no dejes que la duda se enquiste una semana hasta el día antes del examen. Pregunta el mismo día, aunque sea a las once de la noche, con Profe 24/7: un tutor que te explica el paso exacto que no entiendes y te pone ejercicios nuevos hasta que la mecánica te salga automática. Las matemáticas no se aprenden mirando: se aprenden haciendo.